Замыкание открытого шара - замкнутый шар (в ЛНП)

[Walsh]

Может ли кто подсказать: как доказать, что в ЛНП замыкание открытого шара есть замкнутый шар?
То, что замкнутый шар есть подмножество замыкания открытого шара, я доказал, а вот обратное включение не получается. Если быть еще более точным, то я не могу найти элемент, который бы лежал одновременно и в произвольной маленькой окрестности точки границы и в исходном шаре. Заранее спасибо.

[alcoholist]

в любом метрическом пространстве $x\in {\rm Cl} A$ равносильно $\rho(x,A)=0$

[ewert]

Walsh в сообщении #535333 писал(а):

То, что замкнутый шар есть подмножество замыкания открытого шара, я доказал, а вот обратное включение не получается.

По-моему, Вы что-то перепутали. Очевидным является как раз обратное включение: замыкание открытого содержится в замкнутом. Т.е. из $x_n\to x\ \Leftrightarrow\ \|x_n-x\|\to0$ и $\|x_n\|<1$ следует $\|x\|\leqslant1$ -- просто по неравенству треугольника.

А вот в обратную сторону уже несколько менее тривиально, тем более что в произвольных метрических пространствах оно и неверно. В нормированных к любой точке сферы можно сколь угодно приблизиться изнутри по радиусу, в метрических же это может и не пройти.

[Walsh]

Ewert, как Вы абсолютно верно заметили, я перепутал.
Я действительно доказал, что замыкание открытого шара в ЛНП содержится в замкнутом. Доказательство следующее:
Пусть $x \in \overline{S_{r}(x_0)}$ и пусть $\varepsilon>0$.
Тогда существует $x'\in S_{r}(x_0)$: $\left\|x'-x\right\|< \varepsilon$.
Тогда оценим

$$ \|x-x_{0}\| \leq \|x-x'\|+\|x'-x_{0}\|<r+\varepsilon. $$

Отсюда, в силу произвольности $\varepsilon$ $\|x-x_{0}\| \leq r$.
Наши доказательства одинаковы.

А вот как быть все таки с обратным включением? Конкретно как приблизиться по радиусу?
Спасибо.

[ewert]

Walsh в сообщении #535468 писал(а):

Конкретно как приблизиться по радиусу?

Вот по радиусу и приблизиться. Пусть $\|x\|=1$. Выберем любую числовую последовательность $\theta_n\to1-0$ и рассмотрим $x_n=\theta_nx$.

[Lia]

dashabalashova
Замечание за оффтоп. Оффтоп отделен в «Больший шар в меньшем»