Маленький интеграл

[Ktina]

В сборнике Садовничего и Подколзина есть такая задача:

Вычислить интеграл:

$ \int {(-1)^{[x]} dx} $

Если меня не глючит, график очевиден - "пила". А вот формула у меня жутко громоздская вышла:

$ \int {(-1)^{[x]} dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot (-1)^{[x]+1}+\{x\}\cdot (-1)^{[x]}+C$

Можно эту же формулу как-нибудь покомпактнее расписать?
В самом сборнике решение не дано (там даны решения только наиболее трудных задач), а комп коротнуло.

Кому интересно, книга называется "Задачи студенческих олимпиад по математике", страница 27 (это, если в бумажном формате), а номер задачи равен 176.

[Klad33]

Компактно так (учитывая, что подинтегральная функция равна $e^{i \pi |x|}$ ):

$I=-\frac{1}{\pi}\cdot \frac{x}{|x|} \cdot i\cdot e^{i \pi |x|} + C $

За исключением точки x=0, где функция не определена.

[Ktina]

Klad33 в сообщении #535267 писал(а):

...подинтегральная функция равна $e^{i \pi |x|}$...

1. Почему?
2. В чём я ошиблась?

[svv]

Ktina в сообщении #535268 писал(а):

1. Почему?2. В чём я ошиблась?

Ни в чем. $e^{i\pi}=-1$.

[Klad33]

У Вас неверно, потому что интеграл этот - комплексная функция.

[alcoholist]

если вычислять интеграл

$$ \int_1^2(-1)^{[x]}dx $$

согласно формуле

Ktina в сообщении #535261 писал(а):

$ \int {(-1)^{[x]} dx}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot (-1)^{[x]+1}+\{x\}\cdot (-1)^{[x]}+C$

то получим, ка и ожидалось $-1$.

А если по формуле

Klad33 в сообщении #535267 писал(а):

$I=-\frac{1}{\pi}\cdot \frac{x}{|x|} i\cdot e^{i \pi x} + C $

то $-\frac{2i}{\pi}$

[Klad33]

Да, именно так. Меня опередили.

[alcoholist]

Ktina
Не слушайте его)))

[Ktina]

Klad33 в сообщении #535272 писал(а):

У Вас неверно, потому что интеграл этот - комплексная функция.

Там это не было написано. Это подразумевается по умолчанию?
И почему функция не определена в нуле? Разве $(-1)^0\ne 1$? Это нуль в собственной степени не определён, а всё остальное в нулевой степени будет 1. Или я в очередной раз не права?

[alcoholist]

Ktina в сообщении #535280 писал(а):

Или я в очередной раз не права?

Вы правы. Просто у некоторых специфическое "чувство юмора"

[Klad33]

Если я неправ, то постройте тогда график полученного интеграла при C=0. У Вас будет пустое поле.

[arseniiv]

(Оффтоп)

У тех некоторых, скорее, специфическое отсутствие умеренности.

Эту пилу можно переписать по-всякому в зависимости от позволенных обозначений. Например, с одним svv-обозначением можно написать:

$\int{(-1)^{\lfloor x \rfloor} dx} = \left(2\left\{ \frac x2 \right\} > 1 \mathrel ? 2\left\{ \frac x2 \right\} : 2 - 2\left\{ \frac x2 \right\}\right) + C$

Мы видим, что $2\left\{ \frac x2 \right\}$ повторениями портит всю картину, которая могла бы улучшиться. Но если выделить это отдельно, получится каша подлиннее исходного. (Кстати, есть для этого ещё вариант, но он длиннее, хотя мне и понятнее: $x \bmod 2$.)

По-моему, намного лучше представить результат в виде свёртки. Но там мы упираемся тоже в обозначения. В общем, совершенно неизвестно, можно ли в разумных пределах оригинальный ответ сократить, не портя читаемость.

[Ай, Haskell так и просится вырваться на волю!]

2 Klad33: $C$, во-первых, не аргумент функции; во-вторых, при любом его значении всё в нуле определено. У вас в последнее время особенно много ошибок.

[alcoholist]

Klad33 в сообщении #535289 писал(а):

Если я неправ, то постройте тогда график полученного интеграла при C=0

проверьте свой ответ дифференцированием)))

[ewert]

Ktina в сообщении #535261 писал(а):

Если меня не глючит, график очевиден - "пила". А вот формула у меня жутко громоздская вышла:

А зачем и кому она вообще нужна, эта формула? Какой из неё прок для сельского хозяйства? Достаточно просто сказать, что там тыр-пыр-модуль и далее по периодичности.

[AKM]

Ktina в сообщении #535261 писал(а):

$ \int {(-1)^{\color{blue}\left[{\color{black} x}\vphantom{\displaystyle\int}\right]} dx} $

Цитату малость исказил.