гамильтоновы системы

[Oleg Zubelevich]

Сформулировать и доказать версию теоремы о выпрямлении векторного поля для векторных полей уравнений Гамильтона и канонических замен координат.

[Munin]

А что это за теорема в более простой версии?

[Oleg Zubelevich]

Предположим гладкое векторное поле $v(x)$ таково, что $v(0)\ne 0$. Тогда в окрестности нуля существуют новые координаты в которых векторное поле имеет вид $(1,0,\ldots,0)$

[Munin]

А, спасибо, не знал о таком названии.

[Oleg Zubelevich]

Введем обозначения. $z=(p,q)\in\mathbb{R}^{2m},\quad p=(p_1,\ldots,p_m),\quad q=(q_1,\ldots,q_m)$ -- канонические координаты.
Пусть $H(z)$ -- гладкая функция Гамильтона. Будем считать, что $dH(0)\ne 0,\quad H(0)=0$.

Теорема. В окрестности нуля существуют каноничесике координаты $(P,Q)$ в которых $H=Q_1$.

[Oleg Zubelevich]

Доказательство. Не сужая общности будем считать, что $H_{p_1}(0)\ne 0$.
Тогда из уравнения $H(z)=\xi$ мы можем найти $p_1=\psi(p_2,\ldots,p_m,q,\xi)$. Причем $\psi_\xi(0)\ne 0,\quad \psi(0)=0.$.

Замену переменных $(p,q)\mapsto(P,Q)$ будем искать с помощью производящей функции $S(q,Q),\quad p=S_q:$

$$H(S_q,q)=Q_1.$$

Для эквивалентного уравнения рассотрим задачу Коши

$$S_{q_1}=\psi(S_{q_2},\ldots,S_{q_m},q,Q_1),\quad S\mid_{q_1=0}=\sum_{i=2}^mq_iQ_i.\qquad (*)$$

Отметим, что уравнение Гамильтона-Якоби (*) соответствует гамильтоновой системе, которая получена редукцией исходной гамильтоновой системы на поверхность уровня интеграла энергии $\{H(z)=\xi\}$. Поэтому решение задачи (*) может быть получено квадратурами, если известен фазовый поток исходной системы.

Решение задачи Коши (*) существует и единственно при малых $|q_1|$ это следует из метода характеристик.
Нам остается проверить, что $\det S_{Qq}(0)\ne 0.$ Из формул (*) получаем

$$S_{q_1Q_1}(0)=\psi_\xi(0)\ne 0,\quad S_{q_iQ_j}(0)=\delta_{ij},\quad j=1,\ldots,m,\quad i=2,\ldots, m.$$

Поэтому $\det S_{Qq}(0)=\psi_\xi(0)$. Теорема доказана.


Следствие. Предположим, для системы с гамильтонианом $H$ известна группа симметрий $g^s(z)$, состоящая из канонических преобразований. Тогда квадратурами можно понизить порядок системы с гамильтонианом $H$ так, что получится гамильтонова система с $m-1$ степенью свободы. (На $g^s$, разумеется должны быть наложены определенные условия, вытекающие из контекста)