Поведение степенного ряда на границе круга сходимости.

[samson4747]

Помогите пожалуйста исследовать ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(1+2i\right)^n}{n^2}\left(z-3\right)^n$. Нашёл его радиус сходимости: $R=\dfrac{\sqrt 5}{5}$. При $\left|z-3\right|=\dfrac{\sqrt 5}{5}$ получаем ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$, который сходится, но на окружности должна ведь быть хотя бы одна особенная точка, как её найти? Читал по этому поводу: А. И. Маркушевич. Теория аналитических функций 1 том страница 349. Не понял.

[ewert]

samson4747 в сообщении #534988 писал(а):

но на окружности должна ведь быть хотя бы одна особенная точка,

Если в данной точке ряд сходится, то это ещё вовсе не означает, что это точка аналитичности. Из сходимости ряда и только сходимости никак не следует, что сумму ряда можно дифференцировать.

[мат-ламер]

samson4747 в сообщении #534988 писал(а):

При $\left|z-3\right|=\dfrac{\sqrt 5}{5}$ получаем ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$, который сходится, ... .

Не догоняю. А по-подробней можно?

[samson4747]

ewert в сообщении #535006 писал(а):

Из сходимости ряда и только сходимости никак не следует, что сумму ряда можно дифференцировать.

это ясно, но задавая вопрос опираюсь на опыт решения данных примеров и теорему Принсгейма например, но что касается данного примера хочется отметить что на границе круга сходимости ряд может например сходиться в одних точках и расходиться в других например всем известных ряд: $z-\dfrac{z^2}{2}+\dfrac{z^3}{3}-\dots+(-1)^{n-1}\dfrac{z^n}{n}+\dots$ сходится при $z=1$ и расходится при $z=-1$, или меня всё таки обманывает предчувствие "плохой" точки на окружности и ряд сходится причём абсолютно на множестве $\left\{z:\,|z-3|\leqslant\dfrac{\sqrt 5}{5}\right\}$...

[bot]

Ну вот попробуйте продифференцировать ряд ну скажем в точке $z-3=\frac{1-2i}{\sqrt 5}$

[samson4747]

мат-ламер в сообщении #535028 писал(а):

samson4747 в сообщении #534988 писал(а):

При $\left|z-3\right|=\dfrac{\sqrt 5}{5}$ получаем ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$, который сходится, ... .

Не догоняю. А по-подробней можно?

В исходный ряд подставим вместо $(z-3)$~--- $R$, а $(1+2\dot i)$ берётся по модулю, что в итоге и даст $\sqrt 5$, которые в итоге сократятся и в итоге получим ряд $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$.

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #535028 писал(а):

samson4747 в сообщении #534988 писал(а):

При $\left|z-3\right|=\dfrac{\sqrt 5}{5}$ получаем ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{1}{n^2}$, который сходится, ... .

Не догоняю. А по-подробней можно?

А, понял, что Вы хотели сказать. Получаем ряд, который мажорируется рядом ...

[samson4747]

bot в сообщении #535036 писал(а):

Ну вот попробуйте продифференцировать ряд ну скажем в точке $z-3=\frac{1-2i}{\sqrt 5}$

Явно чего то не понимаю... для чего дифференцировать ряд? У нас в предложенной Вами, точке получится расходящийся ряд: $\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\sqrt{5}^n}{n^2}$.

[мат-ламер]

На границе круга сходимости надо рассматривать функциональный ряд (т.е. завищясий от $z$), а не ряд из чисел.

[samson4747]

мат-ламер в сообщении #535047 писал(а):

На границе круга сходимости надо рассматривать функциональный ряд (т.е. завищясий от $z$), а не ряд из чисел.

На пальцах понял что вы хотите сказать, но ведь когда исследуют круг сходимости для $z$ лежащих на его границе либо мажорируют, либо показывают невыполнимость необходимого условия сходимости...

[ewert]

samson4747 в сообщении #535051 писал(а):

для $z$ лежащих на его границе либо мажорируют, либо показывают невыполнимость необходимого условия сходимости...

Особая точка -- это не обязательно точка, в которой нет сходимости. Это ещё и точка, в которой сходимость есть, но нет дифференцируемости. А для проверки последнего перечисленные Вами приёмы ровным счётом ничего не дают.

[samson4747]

Сейчас вот убедил себя на 100%, что особая точка есть прочитав: На границе круга сходимости содержится хотя бы одна особая точка.

-- 04.02.2012, 18:28 --

ewert в сообщении #535055 писал(а):

samson4747 в сообщении #535051 писал(а):

для $z$ лежащих на его границе либо мажорируют, либо показывают невыполнимость необходимого условия сходимости...

Особая точка -- это не обязательно точка, в которой нет сходимости. Это ещё и точка, в которой сходимость есть, но нет дифференцируемости. А для проверки последнего перечисленные Вами приёмы ровным счётом ничего не дают.

То есть нужно доказать что $f(z)=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\dfrac{\left(1+2i\right)^n}{n^2}\left(z-3\right)^n$ не дифференцируема? Что то уже ничего не понимаю...

[мат-ламер]

мат-ламер в сообщении #535047 писал(а):

На границе круга сходимости надо рассматривать функциональный ряд (т.е. завищясий от $z$), а не ряд из чисел.

Тут была мысль, что есть связь между 1) Радиусом сходимости ряда, котрый берётся относительно точки на окружности сходимости 2) Возможностью аналитического продолжения через эту точку за пределы круга сходимости 3) Является ли данная точка на окружности сходимости особой.

[samson4747]

Аналитическое продолжение, не изучено без него исследовать нужно... в Маркушевиче есть приём замены $z^n$ на $e^{i\theta n}$, в дальнейшем рассматривая два числовых ряда в зависимости от угла... но этот метод мне не понятен...

[bot]

(Оффтоп)

Наступала очередь вечерних мультиков на компе, потому задержался с исправлением

bot в сообщении #535036 писал(а):

Ну вот попробуйте продифференцировать ряд ну скажем в точке $z-3=\frac{1-2i}{\sqrt 5}$

Недодумка (или передумка) - должно было быть $z-3=\frac{1-2i}{5}$