связи в СТО и Галилеевой механике

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):

Я и не хотел заниматься геометрией.

Задавая лагранжиан, вы тем самым задаёте и геометрию, в виде двухпараметрического (в зависимости от точки и направления в этой точке) семейства линий, являющихся для лагранжиана - истинными движениями, а для геометрии - геодезическими.

ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):

Я спрашиваю про связи в самом простом случае свободных часиц.

В самом простом случае нет почти ничего, что бы ограничивало выбор лагранжиана, в том числе вы можете выбрать его достаточно нелепым, чтобы обнаружить в нём связи и что угодно.

ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):

Лагранжиан абсолютно естественен

Для физики нет. Для физики естественен тот лагранжиан, который естественно обобщается на случай несвободного движения того или иного достаточно широкого класса.

ИгорЪ в сообщении #533770 писал(а):

А вы видели надуманный лагранжиан Намбу-Гото свободной струны? Ничего что при квантовании, его связи дают все известные полевые уравнения?

Ничего, что это всё имеет очень мало отношения к физике? Если вы идёте в струнную теорию из математики, вы можете получать там сколь угодно чудесатые результаты, имеющие нулевую для физики ценность.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #533816 писал(а):

Для физики естественен тот лагранжиан, который естественно обобщается на случай несвободного движения того или иного достаточно широкого класса.

Странное понимание естественности. Ну добавте к лагранжиану функцию от координат, будет вам взаимодействие и связи останутся.

-- Ср фев 01, 2012 21:16:50 --

apv в сообщении #533804 писал(а):

то предполагаем, что направление движения уже задано

гдейто мы при варьировании задаем направление?

apv в сообщении #533804 писал(а):

К тому же, в первом случае мы варьируем в конфигурационном пространстве, когда заданна начальная и конечная точка (а значит и направление движения), во втором случае - в фазовом пространстве, где направление движение считается произвольным. Поэтому оба интеграла не равносильны.

в обоих случаях варьируем траекторию с закрепленными концами в конфиг. пр-ве. Никаких направлений не вижу, покажите.

[apv]

ИгорЪ в сообщении #533870 писал(а):

гдейто мы при варьировании задаем направление?

Нет, Вы правы, здесь я протупил, мы задаем не направление, а фактически задаем значение энергии.
Расмотрим действие свободной на плоскости частицы в виде ($S=\int L(v_x,v_y) dt$, где $L(v_x,v_y)=v_x^2+v_y^2$). Предположим, что энергия частицы постоянна ($E=v_x^2+v_y^2$). Из последнего равенства выразим $dt=\sqrt{\frac{dx^2+dy^2}{E}}$ и подставим в интеграл для действия, получим $S=\sqrt{E} \int \sqrt{x^2+dy^2} = \sqrt{E} \int dl \propto \int dl$ Далее варьируя, получаем уравнение траектории. Что тут существенно, так это то, что для получения траектории, нужно фиксировать значение энергии (говорят что частица движется по поверхности $H(x,y,p_x,p_y)=E$ в фазовом пространстве), а отсюда, собственно и Ваша связь! Без этого условия, очевидно, ее не будет.

[ИгорЪ]

Ок. Всё сходится, включая константу перед интегралом. Подожду кто ещё что скажет

[apv]

ИгорЪ в сообщении #533588 писал(а):

И что то это меня сильно смущает, поскольку непонятно каков смысл этой связи и зависимости компонент импульса.

Я так и не понял, из моего последнего сообщения Вам стало понятно откуда взялась такая связь?

[ИгорЪ]

apv
Откуда берется связь ясно, были подозрения на её смысл. В СТО связь определяла - массу. В Галилее напрашивалась энергия, в чем я собственно и хотел убедится. Ваш пост очень ясно это показывает.

[apv]

Я думаю, что для пущей убедительности Вам будет интересно посмотреть Дубровина, Новикова, Фоменко "Современная геометрия" глава 5, пар 34 теорема 3.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #533870 писал(а):

Странное понимание естественности. Ну добавте к лагранжиану функцию от координат, будет вам взаимодействие и связи останутся.

Вот это и продемонстрируйте. У меня, если я добавляю к лагранжиану функцию от координат, получается неправильное движение, так что я вам здесь не помощник.

ИгорЪ в сообщении #533905 писал(а):

Откуда берется связь ясно, были подозрения на её смысл. В СТО связь определяла - массу. В Галилее напрашивалась энергия, в чем я собственно и хотел убедится. Ваш пост очень ясно это показывает.

Эх, хорошо выдумывать выдумки, а потом на их основании в них же и убеждаться... Существует много интегралов движения, любой из них вы можете назвать "связью", хотя смысла в этом ноль.

[ИгорЪ]

apv в сообщении #533906 писал(а):

Я думаю, что для пущей убедительности Вам будет интересно посмотреть Дубровина, Новикова, Фоменко "Современная геометрия" глава 5, пар 34 теорема 3.

Да спасибо, этот текст мне знаком, давно когда то читал.

-- Чт фев 02, 2012 21:21:42 --

Munin в сообщении #533946 писал(а):

У меня, если я добавляю к лагранжиану функцию от координат, получается неправильное движение, так что я вам здесь не помощник.

Что такое неправильное движение? А то не пойму что демонстрировать.

Munin в сообщении #533946 писал(а):

Существует много интегралов движения, любой из них вы можете назвать "связью", хотя смысла в этом ноль.

Увы закон сохранения и связь - разные вещи.

[Munin]

ИгорЪ в сообщении #534320 писал(а):

Что такое неправильное движение?

Это когда, скажем, камень полдороги летит вверх с одной постоянной скоростью, а потом полдороги вниз - с другой постоянной. Или при столкновении двух камней не сохраняются величины $m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2$ и $m_1v_1^2+m_2v_2^2.$

ИгорЪ в сообщении #534320 писал(а):

Увы закон сохранения и связь - разные вещи.

Увы, вы это игнорируете.

[ИгорЪ]

Munin в сообщении #534348 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #534320 писал(а):

Что такое неправильное движение?

Это когда, скажем, камень полдороги летит вверх с одной постоянной скоростью, а потом полдороги вниз - с другой постоянной. Или при столкновении двух камней не сохраняются величины $m_1\mathbf{v}_1+m_2\mathbf{v}_2$ и $m_1v_1^2+m_2v_2^2.$

ИгорЪ в сообщении #534320 писал(а):

Увы закон сохранения и связь - разные вещи.

Увы, вы это игнорируете.

Вы можете это показать не на словах?

[ИгорЪ]

Munin
Дак вы можете доказать "неправильность" лагранжиана с корнем?

[Munin]

Это было вам студенческое упражнение. Не хотите - не делайте.

[ИгорЪ]

Это была отписка, а не упражнение. А импульс и энергия сохраняются, что вы, надеюсь видите.

[Munin]

Значит, не сделали...