Дираковские обозначения в КМ

[Nemiroff]

Встретилась в Вики фраза:

Цитата:

Суть опыта состоит в следующем: источник S испускает два фотона в зацепленных состояниях, которые можно описать уравнением $|\psi (\nu_1, \nu_2) \mathcal {i} = \frac {1} {\sqrt {2}} (| x, x \mathcal {i} + | y, y \mathcal {i})$

Вопрос такой: что, собственно, обозначают эти скобочки? Когда про волновую функцию говорят как про функцию (комплексную), то вроде понятно в общих чертах. А это что?

Точнее, даже так: я прочел про обозначения Дирака и бра-кет нотацию.
Я не понял, как с помощью этого что-то посчитать.

Вот там же в Вики даны ответы для обнаружения двух фотонов в каналах + или − поляризаторов с определенными направлениями. Как это получается технически с помощью этих обозначений?

[Munin]

Как с помощью этого считают. Представьте себе вектор. Его можно записать по координатам как $\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z),$ а можно то же самое изобразить другой нотацией $\mathbf{a}=a_x\mathbf{e}_x+a_y\mathbf{e}_y+a_z\mathbf{e}_z.$ Во второй нотации у нас нет никаких дополнительных значков, только векторы и числа. Более того, во второй мы не обязаны пользоваться базисом, $\mathbf{a}=b\mathbf{p}+c\mathbf{q}.$ Чтобы что-то посчитать, мы применяем к этому выражению векторные формулы, например, $(\mathbf{a},(\mathbf{b}+\mathbf{c}))=(\mathbf{a},\mathbf{b})+(\mathbf{a},\mathbf{c}),$ и сводим неизвестное к выражению из известных вещей, например, из попарных произведений базисных векторов (или не базисных, а каких-то других нам знакомых).

-- 19.01.2012 00:53:18 --

Волновая функция - это частный случай вектора состояния, это вектор состояния, записанный в некотором конкретном базисе (в координатном представлении, вообще базисы состояний в квантовой механике называют представлениями). Волновая функция ставит каждой пространственной точке в соответствие комплексное число? Замечательно, пусть точки у нас будут нумеровать базисные векторы, а комплексные числа будут координатами - коэффициентами в разложении по базису. Получаем $\lvert a\rangle=\sum_x\psi_a(x)|x\rangle$ - кет-вектор, соответствующий нашей волновой функции. Что мы могли сделать с функцией, мы можем сделать и с вектором. Можем приписать слева коэффициент или оператор. Можем взять эрмитово сопряжение: $\langle a\rvert=\sum_x\psi_a^*(x)\langle x\rvert.$ Наконец, можем взять произведение с каким-то бра-вектором. Если для него тоже известно координатное представление, то
$\displaystyle\langle b|a\rangle=\sum_{x_1}\sum_{x_2}\psi_b^*(x_1)\psi_a(x_2)\langle x_1|x_2\rangle=\sum_x\psi_b^*(x)\psi_a(x)=\int\psi_b^*(x)\psi_a(x)dx.$

[Nemiroff]

Ну вот допустим, у нас поляризация света. Базис, как я понимаю, состоит из двух векторов. К примеру, если распространение по оси $z$, базисом можно взять орты, тогда базис выглядит как $|x\rangle, |y\rangle$. И тогда поляризация раскладывается по этим векторам. И если мы тогда напишем $|\psi \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}}(|x\rangle + |y\rangle)$, это будет означать, что вероятность того, что после измерения поляризация направлена по $x$ - $1/2$ (не только это, но и это тоже) - ну просто потому что можно посчитать разложение двумерного вектора по базису?
Я правильно понимаю?
И вот не понял еще: если написано $| x, x \rangle$, это "длинный" вектор? Или это два разный вектора, просто пишут рядом? Или как-то иначе?

Цитата:

Получаем $\lvert a\rangle=\sum_x\psi_a(x)|x\rangle$ - кет-вектор, соответствующий нашей волновой функции.

Причем сумма хитрая, она ведь может быть по несчетному количеству слагаемых? Ну там вот вы интеграл еще написали.

[Munin]

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

И если мы тогда напишем $|\psi \rangle = \frac {1} {\sqrt {2}}(|x\rangle + |y\rangle)$, это будет означать, что вероятность того, что после измерения поляризация направлена по $x$ - $1/2$ (не только это, но и это тоже) - ну просто потому что можно посчитать разложение двумерного вектора по базису?
Я правильно понимаю?

Да, именно поэтому.

По сути, чтобы найти разложение по базису, берут вектор, и составляют его скалярные произведения с векторами базиса (благо пространство у нас гильбертово, то есть оснащённое скалярным произведением): $\langle x|\psi\rangle,$ $\langle y|\psi\rangle$ - и для нахождения вероятности ещё возводят модуль в квадрат. То есть, посчитать эти $1/2$ вы можете и сами, чисто формальными телодвижениями.

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

И вот не понял еще: если написано $| x, x \rangle$, это "длинный" вектор? Или это два разный вектора, просто пишут рядом? Или как-то иначе?

Это один вектор. Всё, что в нём написано внутри - это какое-то описание состояния, соответствующего этому вектору. Правила для этого описания нефиксированы, то есть по сути можно написать что угодно, лишь бы было понятно (хотя бы из окружающего текста). Например, $|\text{кот жив}\rangle$ :-)

Что это значит в конкретном месте в Википедии? Поскольку у нас два фотона, то одно состояние двухчастичной системы должно задавать и состояние одного фотона, и состояние другого. То есть это надо читать как
$|\underbrace{x}_{\text{1-й фотон}},\underbrace{x}_{\text{2-й фотон}}\rangle,$
то есть первый фотон поляризован по $x,$ и второй - тоже по $x.$ Наглядно это можно представить как матрицу, строки которой отвечают состояниям поляризации первого фотона, а столбцы - второго:
$\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$
(помните, что на самом деле это не матрица, а вектор, нам просто удобнее расположить его компоненты квадратиком; например, норма этого вектора будет вычисляться возведением в квадрат всех четырёх чисел). Соответственно, зацепленное состояние, передаваемое формулой $|\psi(\nu_1,\nu_2)\rangle=\tfrac{1}{\sqrt{2}}(|x,x\rangle+|y,y\rangle),$ можно представить как
$\left(\begin{array}{cc}\tfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{\sqrt{2}}\end{array}\right).$
Мне такие представления в виде матриц кажутся нагляднее, особенно для черновых записей, но это мои личные предпочтения. Для более универсальной воспринимаемости для любого читателя, стоит писать бра-кет формулу.

-- 20.01.2012 19:53:25 --

Nemiroff в сообщении #529364 писал(а):

Причем сумма хитрая, она ведь может быть по несчетному количеству слагаемых? Ну там вот вы интеграл еще написали.

Да, по сути значок суммы тут - в некотором "обобщённом смысле", подразумевает когда надо - суммирование, когда надо - интегрирование, когда надо - и то и другое. Всё это на самом деле аккуратно и детально излагается в соответствующей математической теории - функциональном анализе (может быть, без этого конкретного значка суммы, придуманного мной на месте), но в физике, чтобы освоить КМ, многие детали не нужны, достаточно знания того, что "математика их как-то оправдывает". Например, само по себе существование такой суммы, вообще-то, должно быть под вопросом, но мы от этого избавились, оговорив, что наше пространство - гильбертово (под чем в функциональном анализе подразумевается куча подробностей). Разумеется, если начать заниматься чуть более сложными вещами, как придётся разбираться в математике серьёзней (например, обнаружить, что дельта-функция - это вообще не функция). Но для начала и этого хватит.

[Анатолий Григорьев]

Меня всегда бесила эта форма записи. Все формулы читаются слева направо, а эта, по-еврейски, справа налево.

[Munin]

(Оффтоп)

Вообще в математике все формулы типа применения функций или операторов читаются справа налево: $ g(f(x)),$ $ BAu.$

И не думаю, что "по-еврейски" значит что-то отрицательное.

[Freude]

Всегда восхищался и был поклонником элегантности этого формализма. Помимо прочего, преимущество дираковской записи - это удобное изображение операторов, действующих в функциональных пространствах, с помощью проекторов. Проектор для состояния обозначается так:

$|a><a|$

Если мы хотим узнать проекцию вектора $|b>$ на ветор $|a>$, подействуем проектором слева:

$|a><a|b>$

Запись типа $|a><a|$ - это оператор (проектор), а запись $<a|b>$ - это скаляр (скалярное произведение и численное значение длины проекции). Поэтому можно переписать выражение в виде, перенося скаляр куда нам вздумается:

$<a|b>|a>$

Другое архиважное выражение для обозначений Дирака - это выражение для полноты пространства:

$\sum\limits_i |i><i|=\hat{1}$

Это выражение используется очень часто, например для представления операторов с помощью проекторов. Пусть у нас есть оператор гамильтона $\hat{\mathbf{H}}$. подействуем на него слева и справа единичным оператором:

$\hat{\mathbf{H}}=\hat{1} \hat{\mathbf{H}} \hat{1}=\sum\limits_{i,j} |i><i|\hat{\mathbf{H}}|j><j|=\sum\limits_{i,j} <i|\hat{\mathbf{H}}|j>|i><j|$

Если вектора $|i>$ и $|j>$ собственные состояния оператора гамильтона (а соответсвующие собственные значения $E_j$), то получим:

$\hat{\mathbf{H}}=\sum\limits_{i,j} <i|\hat{\mathbf{H}}|j>|i><j|=\sum\limits_{i,j} E_j \delta_{i,j} |i><j|=\sum\limits_{j} E_j |j><j|$

-- Пт фев 03, 2012 13:01:14 --

Волновую функцию в координатном представлении часто обозначают таким образом:

$\psi_{\alpha}(\mathbf{r})$=<\mathbf{r}|\alpha>$

Типа скалярное произведение. Действительно, ведь значение волновой функции в каждой точке пространства есть скаляр.