И если мы тогда напишем

, это будет означать, что вероятность того, что после измерения поляризация направлена по

-

(не только это, но и это тоже) - ну просто потому что можно посчитать разложение двумерного вектора по базису?
Я правильно понимаю?
Да, именно поэтому.
По сути, чтобы найти разложение по базису, берут вектор, и составляют его скалярные произведения с векторами базиса (благо пространство у нас гильбертово, то есть оснащённое скалярным произведением):

- и для нахождения вероятности ещё возводят модуль в квадрат. То есть, посчитать эти

вы можете и сами, чисто формальными телодвижениями.
И вот не понял еще: если написано

, это "длинный" вектор? Или это два разный вектора, просто пишут рядом? Или как-то иначе?
Это один вектор. Всё, что в нём написано внутри - это какое-то описание состояния, соответствующего этому вектору. Правила для этого описания нефиксированы, то есть по сути можно написать что угодно, лишь бы было понятно (хотя бы из окружающего текста). Например,

:-)
Что это значит в конкретном месте в Википедии? Поскольку у нас два фотона, то одно состояние
двухчастичной системы должно задавать и состояние одного фотона, и состояние другого. То есть это надо читать как

то есть первый фотон поляризован по

и второй - тоже по

Наглядно это можно представить как матрицу, строки которой отвечают состояниям поляризации первого фотона, а столбцы - второго:

(помните, что на самом деле это не матрица, а вектор, нам просто удобнее расположить его компоненты квадратиком; например, норма этого вектора будет вычисляться возведением в квадрат всех четырёх чисел). Соответственно, зацепленное состояние, передаваемое формулой

можно представить как

Мне такие представления в виде матриц кажутся нагляднее, особенно для черновых записей, но это мои личные предпочтения. Для более универсальной воспринимаемости для любого читателя, стоит писать бра-кет формулу.
-- 20.01.2012 19:53:25 --Причем сумма хитрая, она ведь может быть по несчетному количеству слагаемых? Ну там вот вы интеграл еще написали.
Да, по сути значок суммы тут - в некотором "обобщённом смысле", подразумевает когда надо - суммирование, когда надо - интегрирование, когда надо - и то и другое. Всё это на самом деле аккуратно и детально излагается в соответствующей математической теории -
функциональном анализе (может быть, без этого конкретного значка суммы, придуманного мной на месте), но в физике, чтобы освоить КМ, многие детали не нужны, достаточно знания того, что "математика их как-то оправдывает". Например, само по себе существование такой суммы, вообще-то, должно быть под вопросом, но мы от этого избавились, оговорив, что наше пространство - гильбертово (под чем в функциональном анализе подразумевается куча подробностей). Разумеется, если начать заниматься чуть более сложными вещами, как придётся разбираться в математике серьёзней (например, обнаружить, что дельта-функция - это вообще не функция). Но для начала и этого хватит.