Геометрия, тетраэдр и пересечение плоскостей

[dnoskov]

В тетраэдре $DABC$ биссектрисы трёх углов при вершине D пересекают оотрезки $BC$, $CA$, и $AB$ соответственно в точках $A_1$, $B_1$ и $C_1$. Докажите, что отрезки $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Никак не могу справиться с этой задачей. В учебнике есть указание в том смысле, что сперва нужно бы доказать, что плоскости $ADA_1$, $BDB_1$ и $CDC_1$ пересекаются по прямой.

Значит, раз они (плоскости) проходят через D, то нужна ещё одна точка, через которую они все тоже проходят. Эта точка явно связана с данными биссектрисами (больше не с чем), но вот суть этой связи я уловить что-то никак не могу.

Вот я, например, пришёл к таким фактам (следующим из того, что соостветствующие отрезки — биссектрисы):

$${B_1A\over B_1C} = {{C_1A\times A_1B}\over{C_1B\times A_1C}}$$

;

$${{\sin\angle DCA}\over{\sin\angle DAC}}={{\sin\angle ABB_1\times\sin\angle BCB_1}\over{\sin\angle BAB_1\times\sin\angle B_1BC}}$$

Но применить эти факты мне пока что не удалось.

Поможите, чем можИте… Пожалуйста.

Вот чертеж:

[dnoskov]

А можно здесь просто сказать вроде так, для $DB_1$, например:

$DB_1$ — биссектриса, значит она равноудалена от сторон $DA$ и $DC$ $\triangle DAC$. Можно ли как-нибудь утверждать, что поэтому плоскость $BDB_1$ равноудалена от граней $ADB$ и $CDB$?

[svv]

Помогаю, чем могу. Решение с помощью векторов. Начало всех векторов в точке $D$.
Пусть $a, b, c$ -- единичные векторы, отложенные на лучах $DA, DB, DC$.
Тогда векторы $a+b, b+c, c+a$ будут лежать на биссектрисах $DC_1, DA_1, DB_1$.
Рассмотрим вектор $p=a+b+c$.
Он является линейной комбинацией (да просто суммой) векторов $a+b$ и $c$, поэтому он лежит в плоскости, задаваемой лучами $DC_1$ и $DC$.
В то же время он есть линейная комбинация векторов $b+c$ и $a$, поэтому он лежит в плоскости, образованной лучами $DA_1$ и $DA$.
Наконец, он есть линейная комбинация векторов $c+a$ и $b$, поэтому он лежит и в плоскости, определяемой лучами $DB_1$ и $DB$.
Следовательно, существует луч (а именно -- тот с началом в $D$, на котором лежит вектор $p$), который принадлежит всем трём плоскостям: $ADA_1, BDB_1, CDC_1$.

[Cute]

[dnoskov]

Уаааау! Крууууто.

Вот это вот постижимо. Только надо без векторов (но это уж я сам додумаюсь на примере с векторами).

Спасибо, svv!


Cute, а вы в какой программке чертёж делали (я — в inkscape )

[svv]

Cute, и от меня Вам спасибо. Чудесный рисунок.