Алгебра.Теория групп

[Профессор Снэйп]

Неправда! Я посмотрел и оценил.

Для конечных групп утверждение верно. Для бесконечных... Пусть $A$ - счётная степень $\mathbb{Z}_2$, профакторизованная по фильтру Фреше. Почему $A \not\cong \mathbb{Z}_2 \oplus A$?

-- Пт янв 20, 2012 12:49:10 --

Не могу пока понять, есть там изоморфизм или нет. Сначала принял предложенный контрпример, а теперь засомневался!

[bot]

Вот и меня сомнения одолели. Скоро на поезд - залягу на верхнюю полку и буду м-е-е-д-л-е-н-н-о (потому 4 суток ехать) соображать, ерунду написал или нет.
Её можно без фильтров представить - это просто группа всех подмножеств $\mathbb N$ относительно симметрической разности, профакторизованная по подгруппе конечных подмножеств.

[Профессор Снэйп]

Ну вот допустим, что $f : \mathbb{Z}_2 \oplus A \to A$ - изоморфизм. Тогда $(1,0)$ переводится в какой-то $b \in A$. Этот $b$ представляет из себя бесконечную совокупность единиц, которую можно поделить на две непересекающихся бесконечных части, в сумме (объединении) дающие $b$. Да... Ну и что... Чему это противоречит?

-- Пт янв 20, 2012 17:04:51 --

Хотя стоп! Делим счётное множество на бесконечное количество непересекающихся счётных подмножеств. Каждое из подмножеств наполняем единицами, остальное нулями. Для каждого из подмножеств получаем (одну и ту же с точностью до изоморфизма) группу $B$. Получается, что наше $\mathbb{Z}_2^\omega$, профакторизованная по фильтру Фреше изоморфно $B^\omega$. Н-да... И что дальше...

-- Пт янв 20, 2012 17:07:55 --

$B \cong A$, это очевидно. Имеем $A \cong A^\omega$...

-- Пт янв 20, 2012 17:10:48 --

О! А давайте в терминах булевых алгебр рассуждать. $+$ - операция взятия симметрической разности. Берём $\mathcal{P}(\mathbb{N})$ и факторизуем по модулю конечных множеств. Получаем безатомную булеву алгебру. Отщепить прямое слагаемое, содержащее атом, не получится. Так что всё тип-топ...

Или я слишком смело рассуждаю?

-- Пт янв 20, 2012 17:12:05 --

Да нет, вроде, всё корректно. Годится контрпример, урррра!!!

-- Пт янв 20, 2012 17:16:43 --

Короче, всё ваще просто. Берём безатомную булеву алгебру $B$, на ней вводим операцию $+$ взятия симметрической разности. Тогда $\langle B, + \rangle$ превращается в абелеву группу, в которой каждый элемент имеет порядок $2$. И отщепить прямое слагаемое, изоморфное $\mathbb{Z}_2$, нельзя, иначе в $B$ появится атом. Да-да-да!... Вот оно противоречие и контрпример!

[bot]

(Оффтоп)

bot в сообщении #529197 писал(а):

Вот и меня сомнения одолели. Скоро на поезд - залягу на верхнюю полку и буду м-е-е-д-л-е-н-н-о (потому 4 суток ехать) соображать, ерунду написал или нет.

Долго соображать не пришлось - ещё и до полки не добрался. Долго интернет не попадался - здесь с игорным бизнесом борются путём закрытия интернет-кафе.

Ерунду написал и пример, конечно, не контрпример. Периодическая абелева с простым периодом - это линейное пространство над полем, а подгруппа в ней - это подпространство. Поэтому всякая подгруппа в такой группе отщепляется прямым слагаемым: гамельский базис подпространства дополняем до базиса всего пространства и вуаля.
Финт профессора с безатомностью красив (на момент и меня смутил), но к делу отношения не имеет, так как симметрическая разность про булевость уже ничего помнит и в частности забыла, что такое атом - это во-первых, а во-вторых (хотя после во-первых уже и не важно) куда это вдруг безатомность пропала у элементов группы из-за разложимости её в прямую сумму? Я так полагаю, что тут щелчок у профессора произошёл из одной решётки перескочил в другую - с элементов-атомов на подгруппы-атомы.

[Профессор Снэйп]

Согласен с bot. Поспешил я немного, поспешил...

Так как всё-таки задача решается? Верен ли исходный тезис об отщеплении циклического слагаемого с максимальным периодом, если рассматривать все группы, в том числе и бесконечные?

[AV_77]

Профессор Снэйп в сообщении #533016 писал(а):

Верен ли исходный тезис об отщеплении циклического слагаемого с максимальным периодом, если рассматривать все группы, в том числе и бесконечные?

Для всех групп, конечно, нет. В качестве контрпримера можно взять $\mathbb{Q}$ и любую ее циклическую подгруппу.

[Профессор Снэйп]

AV_77 в сообщении #533168 писал(а):

Профессор Снэйп в сообщении #533016 писал(а):

Верен ли исходный тезис об отщеплении циклического слагаемого с максимальным периодом, если рассматривать все группы, в том числе и бесконечные?

Для всех групп, конечно, нет. В качестве контрпримера можно взять $\mathbb{Q}$ и любую ее циклическую подгруппу.

Честно говоря, я понял исходную задачу так:

Дана абелева группа (возможно, бесконечная), в которой каждый элемент имеет конечный период. Среди этих периодов есть максимальный. Нужно доказать, что циклическая подгруппа, содержащая элемент максимального периода, отщепляется от исходной группы как прямое слагаемое.

Если понимать задачу именно так, то Ваш "контрпример" не годится. А правильно такое понимание или нет - на этот вопрос может ответить лишь топикстартер.

[r2d2study]

Цитата:

Дана абелева группа (возможно, бесконечная), в которой каждый элемент имеет конечный период. Среди этих периодов есть максимальный. Нужно доказать, что циклическая подгруппа, содержащая элемент максимального периода, отщепляется от исходной группы как прямое слагаемое.

А разве такая группа не будет изоморфна декартовой сумме групп $Z_{p^k}$? (как финитно аппроксимируемая). Если это так, то мне кажется, дальше не сложно доказать.

[r2d2study]

Лучше так: так как есть максимальный период, это будет группа ограниченного периода. Тогда по первой теореме Прюфера она раскладывается в прямую сумму примарных циклических.

Кстати, а "элемент максимального периода" означает, что он один этого периода, или их может быть несколько?

[Профессор Снэйп]

r2d2study в сообщении #534120 писал(а):

Кстати, а "элемент максимального периода" означает, что он один этого периода, или их может быть несколько?

Надо полагать, что может быть несколько. Как минимум $\varphi(m)$, где $m$ - этот самый максимальный период. Но может быть и больше

-- Пт фев 03, 2012 14:51:42 --

Впрочем, в исходном задании фигурировал всё же "порядок", а не "период" группы Но тут уже пример приводили, $\mathbb{Z}$ не отщепляется от $\mathbb{Q}$.

[bot]

r2d2study в сообщении #534070 писал(а):

А разве такая группа не будет изоморфна декартовой сумме групп ?

Поддекартовой сумме, то есть будет подгруппой декартовой суммы. А теоремы Прюфера (обе) про примарные.

[lofar]

Пусть $M$ -- абелева периодическая группа с элементом максимального порядка $n=p_1^{\alpha_1}\ldots p_s^{\alpha_s}$. Она является $\mathbb Z_n$-модулем. $\mathbb Z_n$ есть прямая сумма примарных колец $\mathbb Z_{p_i^{\alpha_i}}$, значит $M=M_{p_1}\oplus\ldots\oplus M_{p_s}$ -- прямая сумма $p_i$-групп (они же $\mathbb Z_{p_i^{\alpha_i}}$-модули). $M_{p_i}$ в свою очередь есть прямая сумма примарных групп $\mathbb Z_{p_i^k}$. Итак $M$ будет прямой сумой примарных, а не только подпрямой суммой.

Поэтому циклическая подгруппа $M$ максимального порядка $n$ всегда выделится прямым слагаемым.

[bot]

(опоздал)

Всё просто, если перестать искать контрпример

Можно и без модулей. Периодическая абелева группа (даже без ограничения на порядки элементов) раскладывается в прямую сумму примарных. Дальше по Прюферу (уже с ограничением на порядки элементов) примарные раскладываются в прямую сумму циклических.

[Kallikanzarid]

Sonic86 в сообщении #527843 писал(а):

Значит я в абелевых группах чего-то не понимаю

Различные пучки над алгебраическими многообразиями дают гигантский запас примеров модулей, в которых не каждый подмодуль является прямым слагаемым. Если мне не изменяет память, такой подмодуль найдется для любого пучка с нетривиальной $H^1$.

[muzeum]

Не понял, из-за чего разгорелся сыр-бор?
По формулировке естественно предположить, что речь идет об ограниченности в совокупности периодов периодических элементов. Такую группу представляем как прямую сумму периодической части и группы без кручений. Теперь нужно доказать для периодической группы ограниченного периода. Она является прямой суммой примарных групп (конечное число таких слагаемых), т.е. групп периоды элементов которых являются степенями одного и того же простого числа. Теперь остается доказать, что в примарной группе ограниченного в совокупности периода максимальная по включению подруппа выделяется прямым слагаемым.