Алгебра.Теория групп

[Donald]

Помогите пожалуйста с задачей по алгебре.

Верно ли, что если в абелевой группе есть циклическая подгруппа максимального
порядка, то вся группа есть прямая сумма этой подгруппы с чем-нибудь?

[Sonic86]

Вроде да Нужно группу отобразить в фактор-группу по этой подгруппе максимального порядка, а потом фактор инъективно вложить обратно в группу.

[Профессор Снэйп]

Sonic86 в сообщении #527742 писал(а):

Вроде да Нужно группу отобразить в фактор-группу по этой подгруппе максимального порядка, а потом фактор инъективно вложить обратно в группу.

Что-то не видно, где в этом рассуждении используется максимальность порядка.

[Sonic86]

Профессор Снэйп в сообщении #527837 писал(а):

Что-то не видно, где в этом рассуждении используется максимальность порядка.

либо я чего-то не понимаю, либо максимальность порядка не нужна

[Профессор Снэйп]

Как это не нужна?

Вот в $\mathbb{Z}_8$ есть подгруппа, изоморфная $\mathbb{Z}_2$. Но ведь $\mathbb{Z}_8 \not\cong \mathbb{Z}_2 \times A$ ни для какой абелевой группы $A$!

[Sonic86]

Значит я в абелевых группах чего-то не понимаю

-- Вт янв 17, 2012 04:24:30 --

Профессор Снэйп в сообщении #527841 писал(а):

Вот в $\mathbb{Z}_8$ есть подгруппа, изоморфная $\mathbb{Z}_2$. Но ведь $\mathbb{Z}_8 \not\cong \mathbb{Z}_2 \times A$ ни для какой абелевой группы $A$!

Пожалуй, это даже контрпример, только в качестве подгруппы надо брать $\mathbb{Z}_4^{+}$

[Профессор Снэйп]

Никакой это не контрпример. В $\mathbb{Z}_8$ циклическая подгруппа максимального порядка - это сама $\mathbb{Z}_8$, она изоморфна самой себе в сумме с единичной группой.

-- Вт янв 17, 2012 10:32:10 --

Sonic86 в сообщении #527843 писал(а):

Значит я в абелевых группах чего-то не понимаю

Ну да, не всё там настолько просто, как кажется на первый взгляд.

Кстати, в условии нигде не сказано, что исходная группа конечна. Следует ли из этого, что случай, когда в группе нет циклической подгруппы максимального порядка, надо просто игнорировать?

[bot]

Не, ну цилическая-то уж точно контрпримером быть не может.

[Sonic86]

А если так: всякая абелева группа $A \cong A_{u_1} \times ... \times A_{u_s}$, где $u_j | u_{j+1}$, $A_{u_j}$ - цикличны. Если циклическая подгруппа максимального порядка есть, то это как раз $A_{u_s}$?

[Профессор Снэйп]

Ещё раз: в условии нигде не сказано, что группа конечна!

[Sonic86]

Профессор Снэйп в сообщении #527993 писал(а):

Ещё раз: в условии нигде не сказано, что группа конечна!

Я понял, но разве приведенное мной разложение только для конечных групп? (условно считаем, что если мощности бесконечны, то одна делит другую)
Ну а хотя бы для конечных групп правильно?

[lofar]

Хотелось бы более строгой постановки задачи. Например, $\mathbb{Z}$ -- циклическая подгруппа $\mathbb{Q}$, не выделяющаяся прямым слагаемым и имеющая наибольший порядок среди всех циклических подгрупп.

[Профессор Снэйп]

Ага. Присоединяюсь к пожеланию lofar.

-- Чт янв 19, 2012 18:24:56 --

Sonic86 в сообщении #528022 писал(а):

разве приведенное мной разложение только для конечных групп?

А что у Вас означает вертикальная палочка в выражении $u_j | u_{j+1}$?

[bot]

Делит, то есть первый является делителем второго.
Понятно, что в конечном случае утверждение следует из строения конечных абелевых групп - именно так можно слагаемые прямой суммы собрать. Но может быть в задаче предполагался конечный случай, а утверждение следовало доказывать не опираясь на известное строение?

(Оффтоп)

Мне кажется ТС этот вопрос давно уже не волнует. Посмотрел профиль и укрепился в этом предположении

-- Пт янв 20, 2012 08:47:45 --
Надо взять счётную декартову степень двухэлементных групп и профакторизовать по фильтру Фреше. В ней все цилические подгруппы двухэлементны и диагональная подгруппа прямым множителем не выделяется.

[bot]

(Оффтоп)

Зря добавлял к предыдущему - за 4 часа никто и не посмотрел.