Интегральчик

[alex-omsk]

Хотелось бы узнать, как же его посчитать:

$$\int\limits_{\Omega}dx_{1}...dx_{5}$$

, где $\Omega=\{x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{4}^2+x_{5}^2 \leq 1; x_{1}^2+x_{2}^2 \leq x_{3}^2+x_{4}^2+x_{5}^2\}$

Нужно просто нормальную замену, как-то свести в интегралу меньшей размерности.

[Sonic86]

Может попробовать сделать замену $x_1,x_2$ на полярные и $x_3,x_4,x_5$ на сферические координаты? Хотя бы оба условия как-то свернутся.

[svv]

Может, эти ссылки будут полезными:
http://dxdy.ru/post512269.html#p512269
http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere (см. Hyperspherical coordinates, Hyperspherical volume element)
В этих координатах первое условие будет $r\leqslant 1$. Второе условие можно немного упростить:
$x_{1}^2+x_{2}^2 \leqslant x_{3}^2+x_{4}^2+x_{5}^2$
$x_{1}^2+x_{2}^2+x_{1}^2+x_{2}^2 \leqslant x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2+x_{4}^2+x_{5}^2=r^2$
$x_{1}^2+x_{2}^2\leqslant \frac 1 2 r^2$
И дальше $x_1$ и $x_2$ можно заменить на соответствующие гиперсферические координаты. Только, во-первых, лучше, по-моему, им сопоставить $x_{n-1}$ и $x_n$ (а не $x_1$ и $x_2$) из Википедии, а, во-вторых, не уверен, что всё это поможет.

[alcoholist]

у меня получилось $4\pi^2/5$

[svv]

Это у Вас получается больше, чем объём единичного пятимерного шара $\frac 8{15}\pi^2$ -- который получится, если использовать только первое условие.

[alcoholist]

да, условие одно забыл

-- Чт фев 02, 2012 17:39:16 --

преобразование $(x_1,\dots,x_5)\mapsto (\rho,\varphi,\phi,\theta,r)$

имеет якобиан $\rho r^2\cos\theta$, а область так меняется

$$ \Omega=\{0\le\rho\le r,r^2+\rho^2\le 1,0\le\phi,\varphi\le2\pi,-\pi\le\theta\le\pi\} $$

Поэтому общий объем выражается как произведение 4 интегралов

(я забыл условие $r^2+\rho^2\le 1$)

[alex-omsk]

Со сфереческой заменой у меня ничего не получилось.

Последни пост похож на правду, но что-то я не могу понять, что за такая замена :/

[alcoholist]

в плоскости $(x_1,x_2)$ вводим полярные координаты $(\pho,\varphi)$

в ее ортогональном дополнении $(x_2,x_3,x_5)$ -- сферические $(\phi,\theta,\rho)$

[alex-omsk]

Большое спасибо!

У меня получилось $2\sqrt{2}\pi^2/15$