существует ли целая функция, такая что |f(z)| > |z|

[tavrik]

вопрос:
существует ли целая функция, для которой:
$|f(z)|>|z|$ для любого z

она должна быть аналитичной в неком кругу |z|< r и грубо говоря в "бесконечности"(так чтобы f(z) стремился/сходился медленней чем z ?).
можно ли её так и определить - по разному до r и после?
либо такой функции нет(что естественно надо обосновать).

[ИСН]

Определять целую функцию по-разному до r и после - это примерно как пытаться постричь льва (без наркоза).

[Null]

Насколько я помню целая функция либо константа,либо ее множество значений $\mathbb{C}$ или $\mathbb{C} \backslash \{a\}$

Только наверно это стрельба из пушки по воробьям.

[Sonic86]

Если $(\forall z)|f(z)|>|z|$, то $f(z)$ не имеет нулей, значит $f(z)= \exp (g(z))$ (если $g(z)$ - многочлен, то $f$ - целая).
Может попробовать что-то отсюда вывести
Я немного потыкался, мне не удалось найти $f$.

ИСН в сообщении #534052 писал(а):

Определять целую функцию по-разному до r и после - это примерно как пытаться постричь льва (без наркоза).

Угу, работает теорема о продолжении аналитической функции.

По целым функциям есть книжка Леонтьева Целые функции Ряды экспонент. Это если совсем все плохо будет.

[ИСН]

У целой функции, если только она не многочлен, бесконечность является существенно особой точкой. В окрестности таковой функция обязана принимать все значения (кроме, может быть, одного). А ограничение на модуль ей этого не даёт. Стало быть - - -

[nnosipov]

tavrik в сообщении #534049 писал(а):

вопрос:
существует ли целая функция, для которой:
$|f(z)|>|z|$ для любого z

Пусть существует. Тогда $f(z) \neq 0$ при любом $z$, а значит, $z/f(z)$ --- тоже целая функция. И ограниченная при этом. Поэтому она ...

[Sonic86]

nnosipov в сообщении #534165 писал(а):

Пусть существует. Тогда $f(z) \neq 0$ при любом $z$, а значит, $z/f(z)$ --- тоже целая функция. И ограниченная при этом. Поэтому она ...

А в точке нуль ? Или все-таки рассуждение об отсутствии нулей ошибочно?

[ИСН]

В точке нуль она тоже отличается от нуля. В условии строгое неравенство.

[ewert]

tavrik в сообщении #534049 писал(а):

существует ли целая функция, для которой:
$|f(z)|>|z|$ для любого z

Единица делить на Вашу гипотетически целую функцию с добавленной к ней подходящей константой -- тоже целая, и притом ограниченная. По теореме Лиувилля она (и вместе с ней исходная функция) -- тем самым просто константа. Но тогда облом.

[ИСН]

Подходящих констант может не быть. Как нет их, например, у той же экспоненты: добавляешь к ней что угодно - где-то вылезают нули.

[Sonic86]

(я понял!)

nnosipov в сообщении #534165 писал(а):

Пусть существует. Тогда $f(z) \neq 0$ при любом $z$, а значит, $z/f(z)$ --- тоже целая функция. И ограниченная при этом. Поэтому она ...

ewert в сообщении #534204 писал(а):

Единица делить на Вашу гипотетически целую функцию с добавленной к ней подходящей константой -- тоже целая, и притом ограниченная. По теореме Лиувилля она (и вместе с ней исходная функция) -- тем самым просто константа. Но тогда облом.

Ну так вот оно - доказательство несуществования!!! Значит понятно, прикольно...

[tavrik]

да, пример ewert с теорем. Лиувиля мне кажется самым понятным.
спасибо

-- Вт фев 07, 2012 08:13:59 --

из той же темы:
Если f целая функция и не константа то существует z, для которого:
$Ref(z) > |f(z)|^2$
т.н. малая теорема Пикара, о которой говорил null, на нашем курсе комплекс анализа не упоминается и, видимо, ей пользоваться без доказательства нельзя. но даже если можно...

[ewert]

tavrik в сообщении #535941 писал(а):

$Ref(z) > |f(z)|^2$

По идее, для этого нужно, чтобы $|f(z)|$ было меньше единицы. И чем меньше, тем лучше. Если же этот модуль значительно меньше единицы, то достаточно, чтобы вещественная часть была больше, чем модуль мнимой части (например).

Так вот. Если это многочлен, то подобные точки попадаются вблизи любого из его корней (поскольку вблизи корня $z_0$ функция мало отличается от $a(z-z_0)^k$). Если же нет, то на бесконечности -- существенно особая точка, и по теореме Сохоцкого по подходящей последовательности точек, уходящей на бесконечность, можно получить какое угодно предельное значение $f(z)$. Например, можно получать значения $f(z)$, сколь угодно близкие к $\frac12$, и этого достаточно.

[tavrik]

а да, сорри - формулировка была доказать/опровергнуть.

[nnosipov]

tavrik в сообщении #535941 писал(а):

Если f целая функция и не константа то существует z, для которого:
$Ref(z) > |f(z)|^2$

Предположим, что $f(z)$ не имеет нулей и $\mathrm{Re} f(z) \leqslant |f(z)|^2$ для всех $z$. Тогда $1/f(z)$ --- целая функция с ограниченной вещественной частью, что невозможно, так как она не константа. Если же $z_0$ --- некоторый нуль $f(z)$, то в достаточно малой окрестности $z_0$ найдутся такие $z$, что $\mathrm{Re} f(z)>|f(z)|^2$.