Система дифференциальных уравнений в частных производных

[DLL]

Задача Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в полупространстве $y > 0$:
$\begin{array}{l} u_x + u_y = - uv \\ v_x + v_y = uv \\ u(x,0) = v(x,0) = \frac{1}{2}f(x) \\ \end{array}$
Первая мысль - сложить первые два уравнения, отсюда найти общий вид $u + v$ и воспользоваться условием Коши. Далее, $u$ или $v$ и подставить в систему... Последний шаг, возможно будет громоздким. Может кто-то видит решение по-короче?

[DLL]

Складывая уравнения, легко получить:
$\begin{array}{l} \left( {u + v} \right)_x + \left( {u + v} \right)_y = 0 \\ \left( {u + v} \right)\left( {x,0} \right) = f(x) \\ \end{array}$
Отсюда, ввиду известной связи между решением уравнения в частных производных и первым интегралом соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения имеем:
$\frac{{dx}}{1} = \frac{{dy}}{1}$
Отсюда:
x - y = C
То есть функция, $\varphi (x,y) = x - y$ является первым интегралом. Отсюда, всевозможные решения первого уравнения в частных производных задаются функцией
$F(x - y)$.
Отсюда, находим, что функция $u + v = f(x - y)$ является решением уравнения в частных производных с условием Коши.

[sup]

Ну а теперь можно первое уравнение поделить на $u$, а второе поделить на $v$ и взять их разность.

[DLL]

Отлично, спасибо!