2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Система дифференциальных уравнений в частных производных
Сообщение31.01.2012, 23:44 
Аватара пользователя
Задача Коши для системы дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка в полупространстве $y > 0$:
$\begin{array}{l}
 u_x  + u_y  =  - uv \\ 
 v_x  + v_y  = uv \\ 
 u(x,0) = v(x,0) = \frac{1}{2}f(x) \\ 
 \end{array}$
Первая мысль - сложить первые два уравнения, отсюда найти общий вид $u + v$ и воспользоваться условием Коши. Далее, $u$ или $v$ и подставить в систему... Последний шаг, возможно будет громоздким. Может кто-то видит решение по-короче?

 
 
 
 Re: Система дифференциальных уравнений в частных производных
Сообщение01.02.2012, 22:01 
Аватара пользователя
Складывая уравнения, легко получить:
$\begin{array}{l}
 \left( {u + v} \right)_x  + \left( {u + v} \right)_y  = 0 \\ 
 \left( {u + v} \right)\left( {x,0} \right) = f(x) \\ 
 \end{array}$
Отсюда, ввиду известной связи между решением уравнения в частных производных и первым интегралом соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения имеем:
$\frac{{dx}}{1} = \frac{{dy}}{1}$
Отсюда:
x - y = C
То есть функция, $\varphi (x,y) = x - y$ является первым интегралом. Отсюда, всевозможные решения первого уравнения в частных производных задаются функцией
$F(x - y)$.
Отсюда, находим, что функция $u + v = f(x - y)$ является решением уравнения в частных производных с условием Коши.

 
 
 
 Re: Система дифференциальных уравнений в частных производных
Сообщение02.02.2012, 09:31 
Ну а теперь можно первое уравнение поделить на $u$, а второе поделить на $v$ и взять их разность.

 
 
 
 Re: Система дифференциальных уравнений в частных производных
Сообщение02.02.2012, 10:44 
Аватара пользователя
Отлично, спасибо!

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group