Складывая уравнения, легко получить:

Отсюда, ввиду известной связи между решением уравнения в частных производных и первым интегралом соответствующего обыкновенного дифференциального уравнения имеем:

Отсюда:
x - y = C
То есть функция,

является первым интегралом. Отсюда, всевозможные решения первого уравнения в частных производных задаются функцией

.
Отсюда, находим, что функция

является решением уравнения в частных производных с условием Коши.