устойчивость положения равновесия

[Oleg Zubelevich]

Рассматривается динамическая система заданная следующим уравнением

$$\ddot x=-\frac{d V}{dx},\quad x\in\mathbb{R}.\qquad (*)$$

Построить функцию $V(x)\in C^\infty(\mathbb{R})$ такую, что
1) Система (*) обладает решением $x(t)\equiv 0$ и это решение устойчиво по Ляпунову
2) Функция $V$не имеет в точке $x=0$ локального минимума.

[Null]

А $x^2 \sin\frac{1}{x}$ должно подойти. Надо просто чтоб в начальной окрестности не хватало энергии, чтоб перескочить через окружающие максимумы.

[ewert]

Null в сообщении #533787 писал(а):

А $x^2 \sin\frac{1}{x}$ должно подойти.

Подойдёт, только она не бесконечно дифференцируема, так что надо чуть-чуть подправить.

[Null]

А ну $e^{-\frac{1}{x^2}}\sin\frac{1}{x}$

[Oleg Zubelevich]

Угу

[ewert]

Только надо иметь в виду некоторую неопределённость в терминологии. Устойчивость положения равновесия -- это вовсе не ляпуновость системы. Скорее уж это асимптотическая устойчивость после добавления сколь угодно малой диссипации. В данном случае ничего подобного, естественно, нет.

[scwec]

Null в сообщении #533857 писал(а):

А ну $e^{-\frac{1}{x^2}}\sin\frac{1}{x}$

Вы только-что переоткрыли потенциал Пенлеве-Уитнера в обращении теоремы Лагранжа.

[Oleg Zubelevich]

да, это отмечалось
post533368.html#p533368