Кривизна плоских кривых по Лобачевкому.

[svv]

Судя по статьям в английской и русской Википедии, всякие замечательные линии плоскости Лобачевского представляются в модели Пуанкаре прямыми и окружностями. Применим полученную формулу $\varkappa =y \bar \varkappa+\bar u^x$ к этим двум случаям.

Линия, изображаемая прямой, имеет в евклидовой метрике нулевую кривизну, поэтому $\varkappa =\bar u^x$. Параметрические уравнения прямой (через натуральный параметр $\bar s$):
$x=x_0+\bar s\cos\varphi\;,\quad y=y_0+\bar s\sin\varphi$
Отсюда $\bar u^x=\frac{dx}{d\bar s}=\cos\varphi$, то есть $\varkappa=\cos\varphi$. Итак:
Кривизна линии, которая на полуплоскости Пуанкаре изображается прямой с углом наклона $\varphi$ к оси абсцисс, в плоскости Лобачевского равна $\cos\varphi$.

В частности, кривизна линий, изображаемых горизонтальными прямыми, равна $1$, а вертикальными $0$. Из Википедии известно, что горизонтальные прямые соответствуют орициклам (не всем), а вертикальные прямые соответствуют геодезическим (тоже не всем). Поэтому кривизна таких орициклов равна $1$, кривизна таких геодезических равна $0$.

Перейдем к линиям, изображаемым окружностями. Зададим в евклидовой метрике окружность параметрически:
$x=x_0+r\cos\frac {\bar s} r \;,\quad y=y_0+r\sin\frac {\bar s} r$
Тогда $\bar u^x=\frac{dx}{d\bar s}=-\sin\frac {\bar s} r$. Кривизна окружности в евклидовой метрике $\bar\varkappa=\frac 1 r$. Находим кривизну в плоскости Лобачевского:
$\varkappa =y \bar \varkappa+\bar u^x = (y_0+r\sin\frac {\bar s} r)\frac 1 r -\sin\frac {\bar s} r=\frac{y_0}r$
Итак, кривизна линии, которая на полуплоскости Пуанкаре изображается окружностью с центром $(x_0, y_0)$ и радиусом $r$, равна $\frac{y_0}r$.

В частности, если $y_0=0$ (центр находится на оси абсцисс), то кривизна равна $0$. Если $y_0=r$ (окружность касается оси абсцисс нижней точкой), то кривизна равна $1$. Из Википедии известно, что первый случай соответствует геодезическим, второй -- орициклам. Это вполне согласуется с тем, что мы получили для "прямых", и теперь можно сказать: кривизна геодезических равна $0$, кривизна орициклов равна $1$. Замечательно, что кривизна этих линий не зависит ни от каких-либо параметров, ни от точки на кривой.

Цитата:

A circle (curve equidistant from a central point) with center $\langle x, y \rangle$ and radius $R$ is modeled by a circle with center $\langle x, y \cosh R \rangle$ and radius $y\sinh R$.

Из этого описания легко получаем, что кривизна окружностей равна $\varkappa=\frac{\ch R}{\sh R}=\cth R>1$

Цитата:

A curve equidistant from a straight line is modeled by either a circular arc which intersects the x-axis at the same two points as the half-circle which models the given line, or by a straight line which intersects the x-axis at the same point as the vertical line which models the given line.

Из этого описания следует, что кривизна эквидистант $0<\varkappa<1$ (из условия, что окружность пересекается с осью абсцисс в двух точках).