Судя по статьям в английской и русской Википедии, всякие замечательные линии плоскости Лобачевского представляются в модели Пуанкаре прямыми и окружностями. Применим полученную формулу

к этим двум случаям.
Линия, изображаемая прямой, имеет в евклидовой метрике нулевую кривизну, поэтому

. Параметрические уравнения прямой (через натуральный параметр

):

Отсюда

, то есть

. Итак:
Кривизна линии, которая на полуплоскости Пуанкаре изображается прямой с углом наклона

к оси абсцисс, в плоскости Лобачевского равна

.
В частности, кривизна линий, изображаемых горизонтальными прямыми, равна

, а вертикальными

. Из Википедии известно, что горизонтальные прямые соответствуют орициклам (не всем), а вертикальные прямые соответствуют геодезическим (тоже не всем). Поэтому кривизна
таких орициклов равна

, кривизна
таких геодезических равна

.
Перейдем к линиям, изображаемым окружностями. Зададим в евклидовой метрике окружность параметрически:

Тогда

. Кривизна окружности в евклидовой метрике

. Находим кривизну в плоскости Лобачевского:

Итак, кривизна линии, которая на полуплоскости Пуанкаре изображается окружностью с центром

и радиусом

, равна

.
В частности, если

(центр находится на оси абсцисс), то кривизна равна

. Если

(окружность касается оси абсцисс нижней точкой), то кривизна равна

. Из Википедии известно, что первый случай соответствует геодезическим, второй -- орициклам. Это вполне согласуется с тем, что мы получили для "прямых", и теперь можно сказать: кривизна геодезических равна

, кривизна орициклов равна

. Замечательно, что кривизна этих линий не зависит ни от каких-либо параметров, ни от точки на кривой.
Цитата:
A circle (curve equidistant from a central point) with center

and radius

is modeled by a circle with center

and radius

.
Из этого описания легко получаем, что кривизна окружностей равна

Цитата:
A curve equidistant from a straight line is modeled by either a circular arc which intersects the x-axis at the same two points as the half-circle which models the given line, or by a straight line which intersects the x-axis at the same point as the vertical line which models the given line.
Из этого описания следует, что кривизна эквидистант

(из условия, что окружность пересекается с осью абсцисс в двух точках).