Найти плотность распределения величин

[glebtlt]

Случайная величина $N$ имеет распределение Коши с плотностью $p{_N}(x)=(1/{\pi})\cdot(1/(1+x^2))$. Найти плотность распределения $y = 2N / (1 - N^2)$.

[loldop]

Сами пытались решить?
Форум создан для обсуждений.

[glebtlt]

пытался и у меня получилось $2\cdot(2+x)/((\pi)\cdot x^2)$

[ИСН]

(зачем) (пропеллер,) (воя,) (режет)
(туман) (холодный) ((и)) (пустой).

-- Вт, 2011-12-27, 09:18 --

Это в какой области? Вряд ли же на всей прямой, правда?

[glebtlt]

вряд ли, но тогда как, я решал на подобии решения другой функции $y=2x/(1+x^2)$ но она имеет плотность на всей прямой, а у меня надо рассматривать как плотность на 3 участках или как?

[glebtlt]

Вообщем вот мое решение:
Рассмотрим функцию $f(x)=2x/(1-x^2)$ на участках $(-\inf;-1)$,(-1;0],[0;1),$(1;+\inf)$. На 1 и 3 участках функция положительная и возрастающая, на 2 и 4 участках отрицательная и возрастающая.
$p{_N}(x)= |q'| \cdot f(x)$
Где $q' = (2 (1+x^2))/(-1+x^2)^2$ и $f(x)=1/(\pi \cdot ((1+x^2)/(1-x^2))^2)$
Следовательно
$p{_N}(x)= 2 / \pi \cdot 1/(1+x^2)$

это другой ответ хочу узнать правильный он или нет?

[--mS--]

Функция, всюду вдвое большая, чем плотность (распределения Коши), не может быть плотностью. Поэтому ответ заведомо неверен.

[glebtlt]

тогда в чем ошибка?

[--mS--]

Не знаю, в чём ошибка, поскольку не вижу решения. Плотность величины $N$ Вам дана, зачем и как Вы её вычисляете - непонятно. Если пользуетесь формулой плотности функции от случайной величины, должна возникнуть обратная функция в аргументе плотности, а где она?

[glebtlt]

формула плотности функции от случайной величины... не могли бы подсказать её ?) а то что-то не то и она не здесь случаем http://www.exponenta.ru/educat/class/co ... eme0/8.asp

[glebtlt]

Так над ошибкой подумал оценил и пришел к такому решению:
По формуле $P{_y}(x)=P{_N}([f(x)]{^-1})\cdot d/dx([f(x)]{^-1})$ следовательно
$y=2x/(1-x{^2})$
Где обратная функция равна $x_1=-(2y+\sqrt{4y^2+4})/2=-y-\sqrt{y^2+1}$ и $x_2=-(2y-\sqrt{4y^2+4})/2=-y+\sqrt{y^2+1}$
Следовательно $P{_y_1}(x)=P{_N}(-y-\sqrt{y^2+1})\cdot d/dx(-y-\sqrt{y^2+1})=-1/(2\pi(1+y^2))$ и $P{_y_2}(x)=P{_N}(-y+\sqrt{y^2+1})\cdot d/dx(-y+\sqrt{y^2+1})=-1/(2\pi(1+y^2))$
ответ $-1/(2\pi(1+y^2))$

[integral2009]

glebtlt в сообщении #533513 писал(а):

ответ $-1/(2\pi(1+y^2))$

Плотность редко бывает отрицательной

[glebtlt]

ой модуль забыл значит ответ $1/(2\pi(1+y^2))$

[--mS--]

Функция, всюду вдвое меньшая, чем плотность (распределения Коши), не может быть плотностью. Поэтому ответ заведомо неверен. Корни квадратного уравнения нашли неверно. А кроме того, Вы не учли, что функция $f(x)=2x/(1-x^2)$ у Вас не монотонная, а лишь кусочно-монотонная. Поэтому, например, для $y>0$ решением неравенства $f(x)<y$ будет объединение областей $x>1$, $-1<x<x_2$, $x<x_1$. Соответственно, функция распределения $Y=f(X)$ разобьётся в сумму приращений функции распределения икса, и её производная (плотность) - тоже.

[glebtlt]

glebtlt в сообщении #533536 писал(а):

ой модуль забыл значит ответ $1/(2\pi(1+y^2))$

так а мой последний ответ тоже тогда не правильный ?