Найти Пределы

[myra_panama]

1.$\lim\limits_{n\to\infty}n(1-\int\limits_0^n\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}n}dx)$

2.$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt n\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sin^{2n}xdx$

[ewert]

1). $0<\int\limits_0^n\dfrac{e^{-x}}{1+\frac xn}\,dx-\int\limits_0^n{e^{-x}}\,dx+\int\limits_0^n\frac xn\,{e^{-x}}\,dx<\int\limits_0^n\frac{x^2}{n^2}\,{e^{-x}}\,dx;$

$\int\limits_0^n\dfrac{e^{-x}}{1+\frac xn}\,dx=\int\limits_0^{+\infty}{e^{-x}}\,dx-\int\limits_0^{+\infty}\frac xn\,{e^{-x}}\,dx+o(\frac1n).$

2). $\cos^{2n}x\sim e^{-nx^2}.$

[nnosipov]

ewert в сообщении #533388 писал(а):

2). $\cos^{2n}x\sim e^{-nx^2}.$

Как-то загадочно. Там же обычный Валлис, если не ошибаюсь.

[ewert]

nnosipov в сообщении #533408 писал(а):

Как-то загадочно. Там же обычный Валлис,

Не знаю, как там насчёт Валлиса, но вот что совершенно очевидно -- так это что тут банальнейший Лаплас:

$$\int\limits_0^{\pi/2}\cos^{2n}x\,dx=\int\limits_0^{n^{-1/3}}e^{2n\ln\cos x}\,dx+\int\limits_{n^{-1/3}}^{\pi/2}e^{-O(n^{1/3})}\,dx=(1+O(n^{-1/3}))\int\limits_0^{+\infty}e^{-nx^2}\,dx+O(n^{-349}).$$

[nnosipov]

В комбинации с Валлисом получаем ещё один способ вычислить $\int_0^\infty e^{-x^2}dx$.

[myra_panama]

1)
$n\left( 1-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right) & = & n\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x}\; dx-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right)\\ & = & n\int_{n}^{\infty}e^{-x}\; dx+\int_{0}^{n}\frac{x e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\\ & = & n e^{-n}+\int_{0}^{\infty}\frac{\chi_{[0,n]}(x)}{1+\frac{x}{n}}\, x e^{-x}\; dx$
Где

$ g_{n}(x) :=\frac{\chi_{[0,n]}(x)}{1+\frac{x}{n}}=\begin{cases}\frac{1}{1+\frac{x}{n}}& 0\leq x\leq n\\ 0 &\text{otherwise}.\end{cases} $

$ n\left( 1-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right)\to\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\; dx = 1. $

источник

[myra_panama]

$ \begin{aligned}\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+x/n}\,dx&\stackrel{x/n=y}{=\!=\!=\!=}n\int_{0}^{1}\frac{e^{-ny}}{1+y}\,dy\\ &=n\int_{0}^{c}\left(1-y+\mathcal{O}(y^{2})\right)e^{-ny}\,dy+n\int_{c}^{1}\frac{e^{-ny}}{1+y}\,dy\\ &=\left(1-\frac{1}{n}+\mathcal{O}(n^{-2})\right)+\mathcal{O}(e^{-nc})\\ &=1-\frac{1}{n}+\mathcal{O}(n^{-2})\end{aligned} $

-- Вт янв 31, 2012 20:26:39 --

$ c\in(0,1) $