2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 12:00 


19/01/11
718
1.$\lim\limits_{n\to\infty}n(1-\int\limits_0^n\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}n}dx)$

2.$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt n\int\limits_0^{\frac{\pi}2}\sin^{2n}xdx$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 13:49 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
1). $0<\int\limits_0^n\dfrac{e^{-x}}{1+\frac xn}\,dx-\int\limits_0^n{e^{-x}}\,dx+\int\limits_0^n\frac xn\,{e^{-x}}\,dx<\int\limits_0^n\frac{x^2}{n^2}\,{e^{-x}}\,dx;$

$\int\limits_0^n\dfrac{e^{-x}}{1+\frac xn}\,dx=\int\limits_0^{+\infty}{e^{-x}}\,dx-\int\limits_0^{+\infty}\frac xn\,{e^{-x}}\,dx+o(\frac1n).$

2). $\cos^{2n}x\sim e^{-nx^2}.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 14:45 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
ewert в сообщении #533388 писал(а):
2). $\cos^{2n}x\sim e^{-nx^2}.$
Как-то загадочно. Там же обычный Валлис, если не ошибаюсь.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 15:29 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
nnosipov в сообщении #533408 писал(а):
Как-то загадочно. Там же обычный Валлис,

Не знаю, как там насчёт Валлиса, но вот что совершенно очевидно -- так это что тут банальнейший Лаплас: $$\int\limits_0^{\pi/2}\cos^{2n}x\,dx=\int\limits_0^{n^{-1/3}}e^{2n\ln\cos x}\,dx+\int\limits_{n^{-1/3}}^{\pi/2}e^{-O(n^{1/3})}\,dx=(1+O(n^{-1/3}))\int\limits_0^{+\infty}e^{-nx^2}\,dx+O(n^{-349}).$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 16:04 
Заслуженный участник


20/12/10
9116
В комбинации с Валлисом получаем ещё один способ вычислить $\int_0^\infty e^{-x^2}dx$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 16:44 


19/01/11
718
1)
$n\left( 1-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right) & = & n\left(\int_{0}^{\infty}e^{-x}\; dx-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right)\\ & = & n\int_{n}^{\infty}e^{-x}\; dx+\int_{0}^{n}\frac{x e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\\ & = & n e^{-n}+\int_{0}^{\infty}\frac{\chi_{[0,n]}(x)}{1+\frac{x}{n}}\, x e^{-x}\; dx$
Где

$ g_{n}(x) :=\frac{\chi_{[0,n]}(x)}{1+\frac{x}{n}}=\begin{cases}\frac{1}{1+\frac{x}{n}}& 0\leq x\leq n\\ 0 &\text{otherwise}.\end{cases} $

$ n\left( 1-\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+\frac{x}{n}}\; dx\right)\to\int_{0}^{\infty}x e^{-x}\; dx = 1. $

источник

 Профиль  
                  
 
 Re: Найти Пределы
Сообщение31.01.2012, 20:26 


19/01/11
718
$ \begin{aligned}\int_{0}^{n}\frac{e^{-x}}{1+x/n}\,dx&\stackrel{x/n=y}{=\!=\!=\!=}n\int_{0}^{1}\frac{e^{-ny}}{1+y}\,dy\\ &=n\int_{0}^{c}\left(1-y+\mathcal{O}(y^{2})\right)e^{-ny}\,dy+n\int_{c}^{1}\frac{e^{-ny}}{1+y}\,dy\\ &=\left(1-\frac{1}{n}+\mathcal{O}(n^{-2})\right)+\mathcal{O}(e^{-nc})\\ &=1-\frac{1}{n}+\mathcal{O}(n^{-2})\end{aligned} $

-- Вт янв 31, 2012 20:26:39 --

$ c\in(0,1) $

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group