Пусть
![$f(x)\ge 0, f'(0)=1, f''(x)\ge 0, \int\limits_{0}^{1}{f(x)} dx=\frac{1}{2}$ $f(x)\ge 0, f'(0)=1, f''(x)\ge 0, \int\limits_{0}^{1}{f(x)} dx=\frac{1}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/7/f/87f423318c8159d80a18bc04dbcbfffb82.png)
Найти
![$f(x)$ $f(x)$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/9/9/7997339883ac20f551e7f35efff0a2b982.png)
Мне не понятен один момент. Если производная в нуле равна 1, то как функция может не принимать отрицательных значений? Ведь в окрестности нуля слева такие значения обязаны быть. Или я снова не права?
Если этот непонятный момент проигнорировать, то ответ у меня получился
![$f(x)=x$ $f(x)=x$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/5/4/954511add09b441c0e9f86b9cddeea5e82.png)
, поскольку вторая производная неотрицательна, значит первая производная не принимает значения, меньшие 1 на интервале [0, 1]. Но тогда первая производная должна во всех точках на интервале [0, 1] быть равна единичке, иначе интеграл превысит
![$\frac{1}{2}$ $\frac{1}{2}$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/7/d/47d54de4e337a06266c0e1d22c9b417b82.png)
. А значение искомой функции не может превышать 0 в точке 0, иначе интеграл снова зашкалит.
Пожалуйста, помогите разобраться.