Найти функцию (матан)

[Ktina]

Пусть $f(x)\ge 0, f'(0)=1, f''(x)\ge 0, \int\limits_{0}^{1}{f(x)} dx=\frac{1}{2}$
Найти $f(x)$

Мне не понятен один момент. Если производная в нуле равна 1, то как функция может не принимать отрицательных значений? Ведь в окрестности нуля слева такие значения обязаны быть. Или я снова не права?

Если этот непонятный момент проигнорировать, то ответ у меня получился $f(x)=x$, поскольку вторая производная неотрицательна, значит первая производная не принимает значения, меньшие 1 на интервале [0, 1]. Но тогда первая производная должна во всех точках на интервале [0, 1] быть равна единичке, иначе интеграл превысит $\frac{1}{2}$. А значение искомой функции не может превышать 0 в точке 0, иначе интеграл снова зашкалит.

Пожалуйста, помогите разобраться.

[Null]

Видимо пропущено, что неравенства выполняются на на [0;1]

[Ktina]

Null в сообщении #533353 писал(а):

Видимо пропущено, что неравенства выполняются на на [0;1]

Спасибо!
Ну а решила-то я верно?

[ewert]

Ktina в сообщении #533354 писал(а):

Ну а решила-то я верно?

Верно, только лучше формальнее:

$f''\geqslant0\ \Rightarrow\ f'\nearrow\ \Rightarrow\ f'\geqslant1\ \Rightarrow\ \ f(x)=f(0)+x+g(x),\ g\geqslant0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \int\limits_0^1f\,dx=\frac12+f(0)+\int\limits_0^1g\,dx=\frac12\ \Leftrightarrow\ f(0)=0,\ g(x)\equiv0.$

[Ktina]

ewert в сообщении #533362 писал(а):

Ktina в сообщении #533354 писал(а):

Ну а решила-то я верно?

Верно, только лучше формальнее:

$f''\geqslant0\ \Rightarrow\ f'\nearrow\ \Rightarrow\ f'\geqslant1\ \Rightarrow\ \ f(x)=f(0)+x+g(x),\ g\geqslant0\ \Rightarrow$

$\Rightarrow\ \int\limits_0^1f\,dx=\frac12+f(0)+\int\limits_0^1g\,dx=\frac12\ \Leftrightarrow\ f(0)=0,\ g(x)\equiv0.$

Спасибо!

(Оффтоп)

А можете хороший учебник порекомендовать? Именно по этой теме.

-- 31.01.2012, 12:22 --

Только сейчас поняла свою ошибку. Везде, где писала "интервал", нужно было писать "сегмент". А то получилось не [0, 1], а (0, 1).