Дубовая трость, две школьницы и заумный математик

[Ktina]

Две любопытные школьницы спросили у заумного математика, какова длина его дубовой тросточки, и получили следующий ответ: "длина моей тросточки в метрах равна сумме всех дробей вида $\frac{1}{(n+1)^{m+1}}$, где $m$ и $n$ -натуральные числа".
Ненадолго задумавшись, девочки вычислили длину трости. Попробуйте и Вы.

[EtCetera]

По-видимому, заветное словосочетание "попарно различных" было намеренно пропущено, иначе задача становится слишком сложной. Если я прав, то ответ $\text{---}$ единичка.

(Решение)

$\sum\limits_{m=1}^{\infty}(n+1)^{-(m+1)}=\dfrac{(n+1)^{-2}}{1-(n+1)^{-1}}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
В полученный телескоп можно разглядеть и ответ к задаче:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$

[Ktina]

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):

По-видимому, заветное словосочетание "попарно различных" было намеренно пропущено...

Именно так.

-- 29.01.2012, 20:16 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):

иначе задача становится слишком сложной.

Открытой проблемой?

-- 29.01.2012, 20:17 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):

Если я прав, то ответ $\text{---}$ единичка.

Если я права, то Вы правы.

-- 29.01.2012, 20:23 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):

(Решение)

$\sum\limits_{m=1}^{\infty}(n+1)^{-(m+1)}=\dfrac{(n+1)^{-2}}{1-(n+1)^{-1}}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
В полученный телескоп можно разглядеть и ответ к задаче:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$

(Комментарий)

Формула геометрической прогрессии известна каждой школьнице. А здесь у нас их много (прогрессий, а не школьниц), поэтому имеем ряд:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\dots$, который сводится к вопросу "сколько будет от половины отнять треть? а от трети четверть? и т. д.".
Ответ: один метр.

P.S.
А девочки довольно озарёнными оказались. Видимо, это были Ксюша и Катенька

[EtCetera]

Ktina в сообщении #532849 писал(а):

Открытой проблемой?

Понятия не имею, извините.

[maxal]

Похожая сумма, но поинтересней: post63597.html#p63597