2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Дубовая трость, две школьницы и заумный математик
Сообщение29.01.2012, 20:48 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Две любопытные школьницы спросили у заумного математика, какова длина его дубовой тросточки, и получили следующий ответ: "длина моей тросточки в метрах равна сумме всех дробей вида $\frac{1}{(n+1)^{m+1}}$, где $m$ и $n$ -натуральные числа".
Ненадолго задумавшись, девочки вычислили длину трости. Попробуйте и Вы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дубовая трость, две школьницы и заумный математик
Сообщение29.01.2012, 21:12 
Заслуженный участник


28/04/09
1928
По-видимому, заветное словосочетание "попарно различных" было намеренно пропущено, иначе задача становится слишком сложной. Если я прав, то ответ $\text{---}$ единичка.

(Решение)

$\sum\limits_{m=1}^{\infty}(n+1)^{-(m+1)}=\dfrac{(n+1)^{-2}}{1-(n+1)^{-1}}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
В полученный телескоп можно разглядеть и ответ к задаче:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$

 Профиль  
                  
 
 Re: Дубовая трость, две школьницы и заумный математик
Сообщение29.01.2012, 21:16 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
EtCetera в сообщении #532847 писал(а):
По-видимому, заветное словосочетание "попарно различных" было намеренно пропущено...

Именно так.

-- 29.01.2012, 20:16 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):
иначе задача становится слишком сложной.

Открытой проблемой?

-- 29.01.2012, 20:17 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):
Если я прав, то ответ $\text{---}$ единичка.

Если я права, то Вы правы.

-- 29.01.2012, 20:23 --

EtCetera в сообщении #532847 писал(а):

(Решение)

$\sum\limits_{m=1}^{\infty}(n+1)^{-(m+1)}=\dfrac{(n+1)^{-2}}{1-(n+1)^{-1}}=\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$
В полученный телескоп можно разглядеть и ответ к задаче:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\right)=1$

(Комментарий)

Формула геометрической прогрессии известна каждой школьнице. А здесь у нас их много (прогрессий, а не школьниц), поэтому имеем ряд:
$\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}\dots$, который сводится к вопросу "сколько будет от половины отнять треть? а от трети четверть? и т. д.".
Ответ: один метр.

P.S.
А девочки довольно озарёнными оказались. Видимо, это были Ксюша и Катенька :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: Дубовая трость, две школьницы и заумный математик
Сообщение29.01.2012, 21:26 
Заслуженный участник


28/04/09
1928
Ktina в сообщении #532849 писал(а):
Открытой проблемой?
Понятия не имею, извините.

 Профиль  
                  
 
 Re: Дубовая трость, две школьницы и заумный математик
Сообщение30.01.2012, 01:47 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5488
Похожая сумма, но поинтересней: post63597.html#p63597

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group