ТФКП уравнение?

[Java]

Народ, помогите!

Найти число корней уравнения $z^4+\mathop{\textrm{ch}}(iz)=0$ при $|z| < 0.5$

Каким методом решать? Подскажите.

[Someone]

Java писал(а):

Народ, помогите!

Найти чисо корней уравнения z^4+ch(iz)=0 при IzI < 0.5

Каким методом решать? Подскажите.

Оцените $|z^4|$ и $|\ch(iz)|=|\cos z|=|1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^{2n}}{(2n)!}|\geqslant 1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|z^{2n}|}{(2n)!}$ при $|z|<\frac{1}{2}$.

[Padawan]

Принцип аргумента: приращение аргумента f(z) при одном обходе границы области равно 2Pi*(N-P), где N-число нулей, P-число полюсов в этой области (каждый нуль и полюс считается столько раз, какова его кратность). В Вашем случае полюсов нет.

[Java]

Цитата:

Оцените

То есть как оценить? Поподставять всё до 0.5?

Цитата:

Принцип аргумента: приращение аргумента f(z) при одном обходе границы области равно 2Pi*(N-P), где N-число нулей,

Ничего не понял, у меня тфкп ещё не было Что это значит?

[Someone]

Java писал(а):

Цитата:

Оцените

То есть как оценить? :? Поподставять всё до 0.5?

Прямо. Например, $|z^4|<\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$.

В ряд подставляем $\frac{1}{2}$ и получаем $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^{2n}}{(2n)!}<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}-1=\ch\left(\frac{1}{2}\right)-1$.
В результате получаем $|\ch(iz)|>1-\left(\ch\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)=2-\ch\left(\frac{1}{2}\right)$, и остаётся только доказать, что $2-\ch\left(\frac{1}{2}\right)>\frac{1}{16}$.
Можно оценить ряд геометрической прогрессией с первым членом $\frac{1}{8}$ и знаменателем $\frac{1}{2^2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{48}$:

$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}=\frac{1}{2^2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1}{2^4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2^6\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\dots<$$

$$<\frac{1}{2^2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1}{2^4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2^6\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}+\dots=\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{48}}=\frac{6}{47}$$

.
Поэтому $|\ch(iz)|>1-\frac{6}{47}=\frac{41}{47}>\frac{1}{16}>|z^4|$. Откуда и следует, что Ваше уравнение решений не имеет.

[Java]

ААААА!!! Понял!

Всем спасибо! Особенно СамУану. Остальные уравнения сам сделаю. По образцу.