2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 ТФКП уравнение?
Сообщение21.12.2005, 19:00 


21/12/05
34
Народ, помогите!

:) Найти число корней уравнения $z^4+\mathop{\textrm{ch}}(iz)=0$ при $|z| < 0.5$

Каким методом решать? Подскажите. :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП уравнение?
Сообщение21.12.2005, 19:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Java писал(а):
Народ, помогите!

:) Найти чисо корней уравнения z^4+ch(iz)=0 при IzI < 0.5

Каким методом решать? Подскажите. :roll:


Оцените $|z^4|$ и $|\ch(iz)|=|\cos z|=|1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{z^{2n}}{(2n)!}|\geqslant 1-\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|z^{2n}|}{(2n)!}$ при $|z|<\frac{1}{2}$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2005, 19:38 
Заслуженный участник


13/12/05
4518
Принцип аргумента: приращение аргумента f(z) при одном обходе границы области равно 2Pi*(N-P), где N-число нулей, P-число полюсов в этой области (каждый нуль и полюс считается столько раз, какова его кратность). В Вашем случае полюсов нет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2005, 21:37 


21/12/05
34
Цитата:
Оцените

То есть как оценить? :? Поподставять всё до 0.5?

Цитата:
Принцип аргумента: приращение аргумента f(z) при одном обходе границы области равно 2Pi*(N-P), где N-число нулей,

Ничего не понял, у меня тфкп ещё не было :( Что это значит?

 Профиль  
                  
 
 Re: ТФКП-уравнение.
Сообщение21.12.2005, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
Java писал(а):
Цитата:
Оцените
То есть как оценить? :? Поподставять всё до 0.5?


Прямо. Например, $|z^4|<\left(\frac{1}{2}\right)^4=\frac{1}{16}$.

В ряд подставляем $\frac{1}{2}$ и получаем $\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{|z|^{2n}}{(2n)!}<\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}-1=\ch\left(\frac{1}{2}\right)-1$.
В результате получаем $|\ch(iz)|>1-\left(\ch\left(\frac{1}{2}\right)-1\right)=2-\ch\left(\frac{1}{2}\right)$, и остаётся только доказать, что $2-\ch\left(\frac{1}{2}\right)>\frac{1}{16}$.
Можно оценить ряд геометрической прогрессией с первым членом $\frac{1}{8}$ и знаменателем $\frac{1}{2^2\cdot 3\cdot 4}=\frac{1}{48}$:
$$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{2n}(2n)!}=\frac{1}{2^2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1}{2^4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2^6\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6}+\dots<$$
$$<\frac{1}{2^2\cdot 1\cdot 2}+\frac{1}{2^4\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}+\frac{1}{2^6\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 3\cdot 4}+\dots=\frac{\frac{1}{8}}{1-\frac{1}{48}}=\frac{6}{47}$$.
Поэтому $|\ch(iz)|>1-\frac{6}{47}=\frac{41}{47}>\frac{1}{16}>|z^4|$. Откуда и следует, что Ваше уравнение решений не имеет.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение21.12.2005, 22:52 


21/12/05
34
ААААА!!! Понял!

Всем спасибо! Особенно СамУану. Остальные уравнения сам сделаю. :twisted: По образцу.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group