Периодическая система координат

[Mopnex]

evgeniy в сообщении #531909 писал(а):

В.С.Владимиров Уравнения математической физики, М.: «Наука», 1981г., глава II, параграф 6,пункт 2, свойство обобщенных функций f),cтр.107, следствие после доказательства теоремы. Там четко сказано, что ряд $\sum a_n \exp(i n \varphi)$ всегда сходится в пространстве $D{'}$, в пространстве обобщенных функций.

То, что вы совершенно ничего не понимаете в проблемах, которыми пытаетесь заниматься, всем давно понятно. К тому же вы не внимательны - полный набор двоечника. В приведённой ссылке условие $(6)$ по вашему для чего?

[evgeniy]

Обобщенная функция определяется как функционал, равный интегралу от произведения от обобщенной функции на функцию из основного пространства. Что такое основное пространство смотрите Владимиров. Бесконечность на самом деле является особым числом. Так в курсе ТФКП оно определяется как число на стеререоскопической проекции, но действия над ним не определяются, см. Фукс, Шабат, параграф где описана стереоскопическая проекция. Я же предлагаю производить действия над коэффициентами от функции от бесконечности. При этом бесконечность, это число, являющееся пределам $n \to \infty$ и с бесконечностью можно производить операцию умножения. Я это уже все описывал, только повторяю.

Shwedka, по поводу того, что я комплексные числа хочу представить в действительной плоскости. Так твердое тело в трехмерном пространстве описывается шестью координатами, три координаты центр тяжести и три координаты вращение тела. Аналогично комплексные числа, хотя они помещены в трехмерное пространство, но имеют шесть степеней свободы.

[Munin]

evgeniy в сообщении #531948 писал(а):

Обобщенная функция определяется как функционал

Отлично, так это функция или не функция? Какие теоремы о рядах для обычных функций продолжают выполняться для обобщённых функций, а какие нет?

[evgeniy]

Mopnex
На Ваше замечание отвечу в понедельник, у меня нет под рукой книги, и я не знаю, что означает ваша ссылка (6), но боюсь вы просто не внимательно читали, там четко сказано, что ряд Фурье сходится в смысле обобщенной функции при любых коэффициентах, даже при
$a_n=n^\alpha+\beta$,\alpha>0

-- Пт янв 27, 2012 17:31:23 --

Это обобщенная функция. А какие свойства обобщенных функций совпадают со свойствами обычных функций смотрите книгу Владимиров.

[Munin]

evgeniy в сообщении #531953 писал(а):

А какие свойства обобщенных функций совпадают со свойствами обычных функций смотрите книгу Владимиров.

Нет, я вас спрашиваю. Суть в том, что вы не знаете.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #531953 писал(а):

там четко сказано, что ряд Фурье сходится в смысле обобщенной функции при любых коэффициентах, даже при

Там не сказано, что при любых коэффициентах. Это Ваше очередное измышление. Условие (6) накладывает ограничение на рост коэффициентов. Если Вы докажете, что у Вас коэффициенты удовлетворяют этим ограничениям, то ряд, да, будет сходиться. Пока не доказали, Ваши заявления о сходимости -- малохудожественный свист.

[Mopnex]

evgeniy в сообщении #531953 писал(а):

Mopnex
На Ваше замечание отвечу в понедельник, у меня нет под рукой книги, и я не знаю, что означает ваша ссылка (6), но боюсь вы просто не внимательно читали, там четко сказано, что ряд Фурье сходится в смысле обобщенной функции при любых коэффициентах, даже при
$a_n=n^\alpha+\beta$,\alpha>0

Что же вам всё время кажется, что кто то другой невнимательно прочитал, неправильно понял, неправильно выразился???? Какого лешего если вы всё время невнимательно читаете, неправильно понимаете и криво выражаетесь?
Вы не смогли правильно понять простую логическую конструкцию, доступную ученикам 3-го класса. Я имею ввиду не математику, а обычную житейскую логику.

Не даже при
$a_n=n^\alpha+\beta$,\alpha>0

а

если $ \left|a_k \right| \leqslant A\left|k \right|^m+B$

то тригонометрический ряд

$\sum\limits_{k=- \infty}^\infty a_k \exp(i k x)$

сходится в $D{'}$

Вы ощущаете какую чушь постоянно несёте?

[evgeniy]

Мне надоело отвечать на глупые вопросы. То, что такое обобщенные функции, то каковы их свойства и чем отличаются от обычных функций. Я давно сформулировал свойства сходимости ряда Фурье обобщенных функций, а область сходимости обычных функций зависит от их непрерывности и дифференцируемости и бывает сходимость в среднем и сходимость равномерная, в общем сходимость самая разнообразная.
Shwedka, Вы опелируете понятиями, которые я не понимаю. что такое условие (6), я же говорю, что у меня нет книги под рукой. Я формулирую по памяти.
Дело в том, что в условиях теоремы сказано, что обобщенную функцию можно дифференцировать любое число раз и функция будет сходиться. Это я помню. Значит можно добиться любого большого значения коэффициентов, вида $n^\alpha$. Именно это я и хочу сказать, что практически любой ряд Фурье является сходящимся. Беря бесконечную производную, получим, что ряд Фурье с коэффициентами $\exp(n) \to n^n$ является сходящимся. Я посмотрю, можно ли получить более высокие степени роста коэффициентов используя другие производные. Но для целей моей задачи, этого роста достаточно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #532020 писал(а):

Именно это я и хочу сказать, что практически любой ряд Фурье является сходящимся. Беря бесконечную производную, получим, что ряд Фурье с коэффициентами $\exp(n) \to n^n$ является сходящимся.

Слова 'практически любой' математического смысла не имеют. Бесконечная производная не определена.

evgeniy в сообщении #532020 писал(а):

Я давно сформулировал свойства сходимости ряда Фурье обобщенных функций

Формулировать можно всякую чушь. Ни доказать, ни дать ссылку ТС не может.

[evgeniy]

Mopnex
Условие
$|a_k|<A|k|^m+B$
достаточно широкое при произвольных A,B,m, чтобы практически любой ряд с бесконечными членами являлся сходящимся в смысле обобщенных функций. И для моих целей этого вполне достаточно.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #532028 писал(а):

чтобы практически любой ряд с бесконечными членами являлся сходящимся в смысле обобщенных функций. И для моих целей этого вполне достаточно.

Обычное для ТС нагромождение бессмысленностей.
Слова 'практически любой' математического содержания не имеют.
'ряд с бесконечными членами'-- чушь. таких не бывает
'И для моих целей этого вполне достаточно.' не доказано

[evgeniy]

Вы меня совсем запутали. Я посмотрю первую ссылку на сходимость рядов Фурье, там сформулированна более общая теорема о сходимости рядов Фурье, постораюсь разобраться и в понедельник дам ответ.
Во всяком случае, если ряд Фурье является обобщенной функцией, то он является сходящимся. Так что мое утверждение, что любой ряд Фурье из обобщенных функций сходится является правильным.

[g______d]

evgeniy в сообщении #532045 писал(а):

Во всяком случае, если ряд Фурье является обобщенной функцией, то он является сходящимся. Так что мое утверждение, что любой ряд Фурье из обобщенных функций сходится является правильным.

Из первой фразы вторая не следует никаким образом.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #532045 писал(а):

Во всяком случае, если ряд Фурье является обобщенной функцией, то он является сходящимся.

как всегда, косноязычно.
Правильное утверждение: Если тригонометрический ряд является рядом Фурье обобщенной функции (оф), то он сходится.Этой теоремой можете пользоваться только после того, как докажете, что Ваш ряд - это ряд Фурье обобщенной функции, а не до того.

evgeniy в сообщении #532045 писал(а):

Так что мое утверждение, что любой ряд Фурье из обобщенных функций сходится является правильным.

Не является. Безнадежная путаница. Попытайтесь ощутить разницу между понятиями тригонометрический ряд и ряд Фурье функции.

[evgeniy]

Я внимательно прочитал главу II, параграф 7, пункт 2 Ряды Фурье периодических обобщенных функций стр. 118 книги В.С.Владимиров Обобщенные функции в математической физике. M.: «Наука», 1976г. .
Приводится доказательство условий на коэффициенты обобщенных периодических функций порядка m, которое записывается в виде
$ |c_k(f)|=C_m ||f||_{-m}(1+|k|)^m \eqno(1)$
Действительно при вычислении коэффициентов ряда Фурье возникают коэффициенты, которые равны степени индекса. Т.е. коэффициенты ряда Фурье функций конечного порядка это степенная функция индекса. Т.е. найдутся такие . что выполняется
$ |c_k|<A|k|^m+B $
и значит, ряд Фурье обобщенных функций конечного порядка всегда сходится.
Что же такое конечный порядок обобщенной функции. На странице 20 рассмотрено неравенство
$ |(f,\varphi)| \le K||\varphi||_{C^m(O{‘})},\varphi \in D(O{‘})\eqno(2) $
если можно выбрать целое число m, не зависящим от O{‘}, то наименьшее число m называется порядком функции. Это определение порядка обобщенной функции.
В случае обобщенной функции медленного роста порядок функции всегда существует, так как неравенство (2) справедливо при любом $ O{‘}$. Это составляет содержание теоремы Шварца, приведенной на стр. 90.
Это создает условия, из определения нормы в пространстве функций медленного роста
$ ||\varphi||_p=\sup_x (1+|x|^2)^{p/2}|D^{\alpha}\varphi(x)|, |\alpha| \le p,\varphi \in L, p=0,1,… $
получить свойства формулы (1), зависимость $ (1+|k|)^m $
Существует и более сильная теорема на странице 118, которая утверждает, что ряд Фурье любой, подчеркиваю, любой, обобщенной функции из пространства периодических функций сходится. Привожу ее текст, расшифровывая обозначения.
Теорема. Ряды Фурье любой обобщенной функции f из пространства периодических обобщенных функций сходится к f в пространстве обобщенных функций медленного роста.
Тут имеется одна особенность. Функция f рассматривается в пространстве обобщенных периодических функций, а сходится она в пространстве обобщенных функций медленного роста. Т.е. получается, что обобщенная периодическая функция является обобщенной функцией медленного роста. Пространство обобщенных функций медленного роста обязательно имеет порядок, значит ее коэффициенты ряда Фурье обязательно представимо в виде (1). Т.е. коэффициенты ряда Фурье обобщенной периодической функции обязательно представим в виде (1), так как обобщенная периодическая функция является обобщенной функцией медленного роста. А раз он обязательно представим в виде (1), значит, он сходится всегда, что и утверждает теорема о сходимости периодических обобщенных функций.
Shwedka. Спасибо за формулировку существенного отличия между тригонометрическим рядом и рядом Фурье функции. В данном сообщении я описываю ряд Фурье функции, и показываю с помощью Владимирова, что коэффициенты ряда фурье обобщенной периодической функции являются степенными функциями индекса. Если у меня получится, то я докажу в следующем сообщении, что рекурентная схема определения коэффициентов ряда Фурье, определяет степенные коэффициенты индекса. Дело в том, что неизвестный коэффициент, входит в комбинации $i n a_n \exp(i n \varphi)$ и возможно рекуррентная схема определит коэффициенты необходимым образом.