Неравенство с целой частью

[Whitaker]

Здравствуйте уважаемые друзья!
Помогите решить такую задачку:
Докажите, что

$$[5x]+[5y]\geq [x]+[y]+[3x+y]+[x+3y]$$

и выведите отсюда, что для неотрицательных $x$ и $y$

$$[5x]+[5y]\geq [3x+y]+[x+3y]$$

Вот моя попытка решения:
Пусть $x=n+t$ и $y=m+s$, где $t,s\in [0, 1)$ тогда подставляя и используя то, что $[x+k]=[x]+k$ для $k\in \mathbb Z$ мы получим:
$[5t]+[5s]\geq[3t+s]+[t+3s]$. А доказывать последнее у меня вообще не получается.

(Источник)

Национальная математическая олимпиада США 1975

С уважением, Whitaker.

[Sonic86]

(похожая задача)

Вдруг идейно пригодится: topic53833.html

[Shadow]

Но почему не получится. Можно простым перебором уже. Какие стоимости может принимать $[5t]$? При каких значений $t$ (аналогично для s). И подставлять граничные стоимости в правой части. Можете просто рассмотреть 10 случая, если иначе не удается. 15 случая простите.

[Sonic86]

А вообще да: Shadow правильно говорит:
Сделать подстановки $x=\frac{u}{15}+\alpha , u \in \mathbb{Z}, 0 \leqslant \alpha < \frac{1}{15}$ и для $y$ аналогично, подставить и вычислить целые части.

[Whitaker]

Shadow и Sonic86 большое Вам спасибо за Ваши подсказки!
Я решил задачку
P.S. Как я написал для неотрицательных $x$ и $y$ нужно доказать, что $[5x]+[5y]\geq[3x+y]+[x+3y]$.
Так как для любых $x,y \in \mathbb R$ верно неравенство: $[5x]+[5y]\geq[x]+[y]+[3x+y]+[x+3y]$. Так $x,y\geq 0$, тогда $[x], [y]\geq 0$, то получаем, что $[5x]+[5y]\geq[3x+y]+[x+3y]$.
Можно да так сделать?

[Sonic86]

Whitaker в сообщении #531946 писал(а):

Можно да так сделать?

Можно.
Тут самое главное доказать соотношение

Whitaker в сообщении #531946 писал(а):

$[5x]+[5y]\geq[x]+[y]+[3x+y]+[x+3y]$

[Whitaker]

Sonic86
Ну его я доказал: сделал замены $x=n+t, y=m+$s, где $t,s\in[0, 1)$ получаем $[5t]+[5s]\geq[3t+s]+[t+3s]$ и рассмотрел 15 случаев, где неравенство верно для каждого случая. Всё вроде так