Гармонический ряд

[Leox]

найти пример такого натурального числа $n$, что

$$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>e^2. $$

[ИСН]

Стопицот тыщ. Точно хватит.

[Leox]

а вдруг не хватит? доказать нужно

[kw_artem]

Формула(примерная) для вычисления $n$-ой частичной суммы:
$S_n=\ln n + C +\varepsilon _n,$
$C\simeq 0.5772, \varepsilon _n\rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) $

-- 26.01.2012, 23:23 --

получилось примерно $n\geq 950$

[Leox]

kw_artem в сообщении #531758 писал(а):

Формула(примерная) для вычисления $n$-ой частичной суммы:
$S_n=\ln n + C +\varepsilon _n,$
$C\simeq 0.5772, \varepsilon _n\rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) $

Ето извесно, но вопрос в тому что нужно предоставить конкретное и обоснованное число $n.$ Очеень желательно без использования етой формулы суммирования а какими_нибудь елементарными способами

[ИСН]

Я представил чисто конкретное число, а kw_artem обосновал, почему оно годится. Не нравится - суммируйте руками.

-- Чт, 2012-01-26, 23:26 --

А, нет, есть ещё одна опция. Помните, как в школе доказывается расходимость гармонического ряда?

[kw_artem]

типо точно найти наименьшее "эн" при котором неравенство верно?

-- 26.01.2012, 23:28 --

или просто ту формулу не использовать?

[Leox]

ИСН в сообщении #531760 писал(а):

Я представил чисто конкретное число, а kw_artem обосновал, почему оно годится. Не нравится - суммируйте руками.

-- Чт, 2012-01-26, 23:26 --

А, нет, есть ещё одна опция. Помните, как в школе доказывается расходимость гармонического ряда?

Помню, но ето общий подход, а здесь требуется какой-то искусcтвенный простой метод работающий именно для $e^2$, скажем, возможно, нужно как то использовать разложение
$e^2=1+2+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots $

[gris]

Ну так используйте способ как при доказательстве расходимости. То есть рассмотрите ряд

$$1+\frac1{4}+\frac1{4}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{16}+\frac1{16}+...$$

Конечно, это будет завышенная оценка для $n$, но надёжная и школьная.
А, уж сказали. А я хотел ещё эксель предложить

[Leox]

gris в сообщении #531766 писал(а):

Ну так используйте способ как при доказательстве расходимости. То есть рассмотрите ряд

$$1+\frac1{4}+\frac1{4}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{16}+\frac1{16}+...$$

Конечно, это будет завышенная оценка для $n$, но надёжная и школьная.

Да, но ето крупная артилеррия..хотелось бы без етого обойтись

-- Чт янв 26, 2012 21:33:17 --

kw_artem в сообщении #531762 писал(а):

типо точно найти наименьшее "эн" при котором неравенство верно?

-- 26.01.2012, 23:28 --

или просто ту формулу не использовать?

да, просто не использовать ету формулу и не использовать общее доказательство расходимости гармонического ряда

[arseniiv]

Какая крупная артиллерия? Всё прекрасно суммируется. 1 член — сумма 1. 3 члена — сумма 1,5. 7 членов — сумма 2. $2^n - 1$ членов — сумма $\frac{n+1}2$. Возьмите $n = \left\lceil e^2 \right\rceil$. Или даже $n = \lceil e \rceil^2 = 9 = \frac{17 + 1}2$, и получите, что хватит $2^{17} - 1 = 131071$ членов. Да, сильно завышено. Но верно.

-- Пт янв 27, 2012 03:48:39 --

Leox в сообщении #531765 писал(а):

скажем, возможно, нужно как то использовать разложение
$e^2=1+2+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots $

Можете использовать его для нахождения $\left\lceil e^2 \right\rceil$.

[Dan B-Yallay]

(May be)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1 n =\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac 1 {n-1}$$

$$\dfrac 1 {x-1} \leqslant \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1}\qquad \forall x\in [2,\infty)$$

$$\sum\limits_{n=2}^N \dfrac 1 {n-1}= \int_2^N \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1} dx \geqslant \int_2^N \dfrac 1 {x -1} dx =\ln N - \ln 2 > e^2 $$

$$N>e^{e^2+\ln 2}$$

$N>2981$

[integral2009]

(У меня есть такая извращенная мысль (ведь не сказано -- начиная с какого номера))

В итоге -- получилась ерунда)

$$ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^n}=\dfrac{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}=\frac{10}{9}(1-0,1^{n+1})>e^2 $$

$\frac{10}9(1- 0,1^{n+1})>e^2$

$1-0,1^{n+1}>\dfrac{9e^2}{10}$

$1-\dfrac{9e^2}{10}>0,1^{n+1}$

А вот это уже бред, тк $1-\dfrac{9e^2}{10}<0$

Чисто формально

$\log_{0,1}(1-\dfrac{9e^2}{10})<n+1$

$n>\log_{0,1}(1-\dfrac{9e^2}{10})-1$

(to Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #531798 писал(а):

$$\int_2^N \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1} dx \geqslant \int_2^N \dfrac 1 {x -1} dx$$

Разве?)

А почему $\ln 2$, а не $\ln 1$?)

[arseniiv]

(2 integral2009.)

integral2009, вы оценили сходящимся рядом. Конечно, он никогда не превысит $e^2$, потому что его сумма $1{,}(1) = \frac{10}9 < e^2$.

[Leox]

Спасибо всем, разобрался