2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:02 


25/08/05
645
Україна
найти пример такого натурального числа $n$, что

$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>e^2.
$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Стопицот тыщ. Точно хватит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:18 


25/08/05
645
Україна
а вдруг не хватит? доказать нужно

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:20 


17/01/12
445
Формула(примерная) для вычисления $n$-ой частичной суммы:
$S_n=\ln n + C +\varepsilon _n,$
$C\simeq 0.5772, \varepsilon _n\rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) $

-- 26.01.2012, 23:23 --

получилось примерно $n\geq 950$

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:23 


25/08/05
645
Україна
kw_artem в сообщении #531758 писал(а):
Формула(примерная) для вычисления $n$-ой частичной суммы:
$S_n=\ln n + C +\varepsilon _n,$
$C\simeq 0.5772, \varepsilon _n\rightarrow 0 (n \rightarrow \infty) $

Ето извесно, но вопрос в тому что нужно предоставить конкретное и обоснованное число $n.$ Очеень желательно без использования етой формулы суммирования а какими_нибудь елементарными способами

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Я представил чисто конкретное число, а kw_artem обосновал, почему оно годится. Не нравится - суммируйте руками.

-- Чт, 2012-01-26, 23:26 --

А, нет, есть ещё одна опция. Помните, как в школе доказывается расходимость гармонического ряда?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:26 


17/01/12
445
типо точно найти наименьшее "эн" при котором неравенство верно?

-- 26.01.2012, 23:28 --

или просто ту формулу не использовать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:30 


25/08/05
645
Україна
ИСН в сообщении #531760 писал(а):
Я представил чисто конкретное число, а kw_artem обосновал, почему оно годится. Не нравится - суммируйте руками.

-- Чт, 2012-01-26, 23:26 --

А, нет, есть ещё одна опция. Помните, как в школе доказывается расходимость гармонического ряда?


Помню, но ето общий подход, а здесь требуется какой-то искусcтвенный простой метод работающий именно для $e^2$, скажем, возможно, нужно как то использовать разложение
$e^2=1+2+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots $

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Ну так используйте способ как при доказательстве расходимости. То есть рассмотрите ряд
$$1+\frac1{4}+\frac1{4}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{16}+\frac1{16}+...$$
Конечно, это будет завышенная оценка для $n$, но надёжная и школьная.
А, уж сказали. А я хотел ещё эксель предложить :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение26.01.2012, 22:32 


25/08/05
645
Україна
gris в сообщении #531766 писал(а):
Ну так используйте способ как при доказательстве расходимости. То есть рассмотрите ряд
$$1+\frac1{4}+\frac1{4}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{8}+\frac1{16}+\frac1{16}+...$$
Конечно, это будет завышенная оценка для $n$, но надёжная и школьная.


Да, но ето крупная артилеррия..хотелось бы без етого обойтись

-- Чт янв 26, 2012 21:33:17 --

kw_artem в сообщении #531762 писал(а):
типо точно найти наименьшее "эн" при котором неравенство верно?

-- 26.01.2012, 23:28 --

или просто ту формулу не использовать?


да, просто не использовать ету формулу и не использовать общее доказательство расходимости гармонического ряда

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение27.01.2012, 00:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Какая крупная артиллерия? :shock: Всё прекрасно суммируется. 1 член — сумма 1. 3 члена — сумма 1,5. 7 членов — сумма 2. $2^n - 1$ членов — сумма $\frac{n+1}2$. Возьмите $n = \left\lceil e^2 \right\rceil$. Или даже $n = \lceil e \rceil^2 = 9 = \frac{17 + 1}2$, и получите, что хватит $2^{17} - 1 = 131071$ членов. Да, сильно завышено. Но верно.

-- Пт янв 27, 2012 03:48:39 --

Leox в сообщении #531765 писал(а):
скажем, возможно, нужно как то использовать разложение
$e^2=1+2+\frac{2^2}{2!}+\frac{2^3}{3!}+\cdots $
Можете использовать его для нахождения $\left\lceil e^2 \right\rceil$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение27.01.2012, 01:59 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/12/05
10078

(May be)

$$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac 1 n =\sum\limits_{n=2}^\infty \dfrac 1 {n-1}$$
$$\dfrac 1 {x-1} \leqslant \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1}\qquad  \forall x\in [2,\infty)$$
$$\sum\limits_{n=2}^N \dfrac 1 {n-1}= \int_2^N  \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1} dx \geqslant \int_2^N  \dfrac 1 {x -1} dx =\ln N - \ln 2 > e^2 $$
$$N>e^{e^2+\ln 2}$$
$N>2981$ :?:

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение27.01.2012, 02:09 


25/10/09
832

(У меня есть такая извращенная мысль (ведь не сказано -- начиная с какого номера))

В итоге -- получилась ерунда)
$$
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}>1+\frac{1}{10}+\frac{1}{10^2}+\cdots+\frac{1}{10^n}=\dfrac{1-0,1^{n+1}}{1-0,1}=\frac{10}{9}(1-0,1^{n+1})>e^2
$$

$\frac{10}9(1- 0,1^{n+1})>e^2$

$1-0,1^{n+1}>\dfrac{9e^2}{10}$

$1-\dfrac{9e^2}{10}>0,1^{n+1}$

А вот это уже бред, тк $1-\dfrac{9e^2}{10}<0$

Чисто формально

$\log_{0,1}(1-\dfrac{9e^2}{10})<n+1$

$n>\log_{0,1}(1-\dfrac{9e^2}{10})-1$

:shock:


(to Dan B-Yallay)

Dan B-Yallay в сообщении #531798 писал(а):
$$\int_2^N  \dfrac 1 {\lfloor x \rfloor -1} dx \geqslant \int_2^N  \dfrac 1 {x -1} dx$$

Разве?)

А почему $\ln 2$, а не $\ln 1$?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение27.01.2012, 03:56 
Заслуженный участник


27/04/09
28128

(2 integral2009.)

integral2009, вы оценили сходящимся рядом. Конечно, он никогда не превысит $e^2$, потому что его сумма $1{,}(1) = \frac{10}9 < e^2$. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Гармонический ряд
Сообщение27.01.2012, 13:23 


25/08/05
645
Україна
Спасибо всем, разобрался

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group