Доказать неравенство

[integral2009]

Если $x_i\geqslant 0$ и $x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n=1$, то

$x_1+...+x_n\geqslant n$

----------------------

Для $x_1=x_2=...=x_n=1$ -- очевидно.

А если мы допустим, что не все иксы являются единицами, то с чего следует начать. Какие предположения можно сделать?

[Полосин]

Попробуйте доказать по индукции (по числу переменных).

[ewert]

Вообще-то это просто неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Не очень понятно, из чего предлагалось исходить при доказательстве.

[integral2009]

Полосин в сообщении #531346 писал(а):

Попробуйте доказать по индукции (по числу переменных).

Ок, попробую, спасибо! Кстати, а ведь $x_i\ne 0$ для всех $i$ насколько я понимаю.

1) Проверим базу индукции:

Пусть $x_1\cdot x_2=1$ и $x_i\geqslant 0$ для $i=1,2$

Для определенности:

Пусть $x_1<1<x_2$

$x_1\cdot x_2=1$ => $x_1=\dfrac{1}{x_2}$

Т.е. нужно доказать

$\dfrac{1}{x_1}+x_1\geqslant 2$

$1+x_1^2-2x_1\geqslant 0$

$(1-x_1)^2\geqslant 0$

ч.т.д.

2) Пусть для $x_i> 0$ и $x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n=1$ верно неравенство

$x_1+...+x_n\geqslant n$

Докажем, что верно $x_1+...+x_n+x_{n+1}\geqslant n+1$ для

$x_i> 0$ и $x_1\cdot x_2\cdot ...\cdot x_n\cdot x_{n+1}=1$

Перенумеруем все числа так, чтобы

$x_n<1<x_{n+1}$

Док-во $x_1+...+x_n+x_{n+1}\geqslant n+x_{n+1}\geqslant n+1$

Вот так? Правильно? Есть ли еще способы?!

-- Ср янв 25, 2012 23:22:20 --

ewert в сообщении #531347 писал(а):

Вообще-то это просто неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Не очень понятно, из чего предлагалось исходить при доказательстве.

Из любых фактов) Интересно было бы рассмотреть как можно больше доказательств, исходя из разных фактов)

-- Ср янв 25, 2012 23:38:02 --

ewert в сообщении #531347 писал(а):

Вообще-то это просто неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим. Не очень понятно, из чего предлагалось исходить при доказательстве.

Да, если ввести обозначения $x_i=\dfrac{y_i}{\sqrt[n]{y_1\cdot y_2\cdot ...\cdot y_n}}$

А есть ли еще способы?

[Shadow]

При доказательстве по индукции последнее утверждение, думаю, некоректно.
$x_1+x_2+...x_n\geqslant n$ только если $x_1x_2...x_n=1$ Но при переходе к $n+1, x_1x_2...x_n<1$ Так что использовать раньше полученое неравество неправильно. Оно получено при других условий

[integral2009]

Shadow в сообщении #531361 писал(а):

При доказательстве по индукции последнее утверждение, думаю, некоректно.
$x_1+x_2+...x_n\geqslant n$ только если $x_1x_2...x_n=1$ Но при переходе к $n+1, x_1x_2...x_n<1$ Так что использовать раньше полученое неравество неправильно. Оно получено при других условий

А я думал, что метод математической индукции заключается в том, что мы проверяем некоторое высказывание $P_n(x)$ следующим образом:

1) Проверяем базу $P_1$

2) Предполагая, что верно высказывание $P_n$ мы доказываем, что верно для $P_{n+1}$

Или я не прав? (не знаю -- корректно ли выразился)

[Shadow]

Метод правильно описали, но пункт 2 не реализован. Исходя из того, что $x_1x_2...x_n=1$ Вы доказали, что $x_1+x_2+...x_n \geqslant n$, но у нас уже $x_1x_2...x_nx_{n+1}=1$ и ничего не можем сказать про $x_1+x_2+...x_n$. Напр. $x_1=0.1, x_2=0.1, x_3=100$ Не имеем право сказать: так как $x_1+x_2 \geqslant 2, \text { то } x_1+x_2+x_3 \geqslant 3$

[integral2009]

Shadow в сообщении #531381 писал(а):

Метод правильно описали, но пункт 2 не реализован. Исходя из того, что $x_1x_2...x_n=1$ Вы доказали, что $x_1+x_2+...x_n \geqslant n$, но у нас уже $x_1x_2...x_nx_{n+1}=1$ и ничего не можем сказать про $x_1+x_2+...x_n$. Напр. $x_1=0.1, x_2=0.1, x_3=100$ Не имеем право сказать: так как $x_1+x_2 \geqslant 2, \text { то } x_1+x_2+x_3 \geqslant 3$

Спасибо! А как тогда правильно реализовать?

[MaximVD]

integral2009 в сообщении #531350 писал(а):

Интересно было бы рассмотреть как можно больше доказательств, исходя из разных фактов)

Часто такие неравенства элементарно доказываются сведением к экстремальной задаче.

Рассмотрим экстремальную задачу: найти минимум $x_1 + \ldots + x_n$ при ограничениях $x_1 \ldots x_n = 1$ и $x_i \ge 0$.
Сперва необходимо показать, что у этой задачи существует решение. Целевая функция $f(x) = x_1 + \ldots + x_n$ непрерывна, множество, определяемое ограничениями, замкнуто и при этом, если $x$ удовлетворяет ограничениям и $\| x \| \to + \infty$, то и $f(x) \to + \infty$, откуда получаем, что решение задачи существует.
Составляем функцию Лагранжа. $L = \lambda_0 (x_1 + \ldots + x_n) + \lambda_{n+1} x_1 \ldots x_n + \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n$. Поскольку в точке оптимума все $x_i$ не равны нулю, то из условия дополняющей нежёсткости получаем, что $\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0$. Далее, $\lambda_0 \ne 0$, поскольку в противном случае из условия $\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$ получаем, что $x_1 = \ldots = x_n = 0$, чего, конечно, быть не может. Нетрудно проверить, что необходимым условиям экстремума удовлетворяет только точка $x_1 = \ldots = x_n = 1$, а, поскольку решение задачи существует, то это и есть точка минимума. Дальнейшее очевидно.

[gris]

Известно, что среди всех многомерных параллелепипедов с заданной суммой сторон наибольший объём имеет куб. И среди всех многомерных параллелепипедов с заданным объёмом наименьшую сумму сторон имеет куб.

[Shadow]

integral2009 в сообщении #531383 писал(а):

Спасибо! А как тогда правильно реализовать?

Посмотрел как доказывается по индукции. После перенумерации так, чтобы $x_n<1<x_{n+1}$, произведение $x_nx_{n+1}$ рассматривается как одна переменная. Тогда имеем
$x_1x_2...x_{n-1}(x_nx_{n+1})=1 \Rightarrow x_1+x_2+...x_{n-1}+x_nx_{n+1}\geqslant n$ (1*)
Отдельно доказывается что если $x_n<1<x_{n+1},\text { то } x_n+x_{n+1}>x_nx_{n+1}+1$ (2*):

По условие $x_{n+1}>1$ Умножаем обе части на положительное $1-x_n$ переносим и получаем что надо. Из (1*) и (2*) следует, что $x_1+x_2+...x_n+x_{n+1}\geqslant n+1$

[integral2009]

Хорошо, спасибо, понятно, разобрался!