Интересно было бы рассмотреть как можно больше доказательств, исходя из разных фактов)
Часто такие неравенства элементарно доказываются сведением к экстремальной задаче.
Рассмотрим экстремальную задачу: найти минимум
![$x_1 + \ldots + x_n$ $x_1 + \ldots + x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/b/d/dbd5c4ed75874cc7e3cb342456d39a5382.png)
при ограничениях
![$x_1 \ldots x_n = 1$ $x_1 \ldots x_n = 1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/d/6/9d6ea6a0157914f3a8d2878373d8987b82.png)
и
![$x_i \ge 0$ $x_i \ge 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/b/a/1ba0f1206c270e0c36f0ada9d458630082.png)
.
Сперва необходимо показать, что у этой задачи существует решение. Целевая функция
![$f(x) = x_1 + \ldots + x_n$ $f(x) = x_1 + \ldots + x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/a/6/9a6a6b18271bac75f15b6aeb4cbfe30382.png)
непрерывна, множество, определяемое ограничениями, замкнуто и при этом, если
![$x$ $x$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/3/3/2/332cc365a4987aacce0ead01b8bdcc0b82.png)
удовлетворяет ограничениям и
![$\| x \| \to + \infty$ $\| x \| \to + \infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/c/7/fc7e172cc179cc28857bbfdc2b9b04a182.png)
, то и
![$f(x) \to + \infty$ $f(x) \to + \infty$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/f/4/ff4a8dc598907ad6818f6c403ec5d6a982.png)
, откуда получаем, что решение задачи существует.
Составляем функцию Лагранжа.
![$L = \lambda_0 (x_1 + \ldots + x_n) + \lambda_{n+1} x_1 \ldots x_n + \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n$ $L = \lambda_0 (x_1 + \ldots + x_n) + \lambda_{n+1} x_1 \ldots x_n + \lambda_1 x_1 + \ldots + \lambda_n x_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/1/f/5/1f55697c759f36e37736474417bb568e82.png)
. Поскольку в точке оптимума все
![$x_i$ $x_i$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/f/c/9fc20fb1d3825674c6a279cb0d5ca63682.png)
не равны нулю, то из условия дополняющей нежёсткости получаем, что
![$\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0$ $\lambda_1 = \ldots = \lambda_n = 0$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/7/8/2/782c0b009263f8e7b2983a290787681382.png)
. Далее,
![$\lambda_0 \ne 0$ $\lambda_0 \ne 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/2/2/4225604a4095aa9d1f39426069a2632382.png)
, поскольку в противном случае из условия
![$\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$ $\frac{\partial L}{\partial x_i} = 0$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/7/d87e0b356caa4ac49b8dd9a8985549b282.png)
получаем, что
![$x_1 = \ldots = x_n = 0$ $x_1 = \ldots = x_n = 0$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/5/0/4501f75e7cb8ba616b25158366d3ecd382.png)
, чего, конечно, быть не может. Нетрудно проверить, что необходимым условиям экстремума удовлетворяет только точка
![$x_1 = \ldots = x_n = 1$ $x_1 = \ldots = x_n = 1$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/9/f/e9f29e3ec509ddeda05bd6fee92284ac82.png)
, а, поскольку решение задачи существует, то это и есть точка минимума. Дальнейшее очевидно.