Пределы функции двух переменных в нуле

[Fi]

Помогите расколоть:

LIM(cos(x*x+y)/(1-x*x*y))^(1/(x*x*x*x+y*y))
(x,y)->(0,0)

или

LIM((1+arctg(xy))/(cos(x-y)))^(1/(x*x+y*y))
(x,y)->(0,0)

По идее решаются они через одинаковую "фишку", только не могу понять через какую.

(извиняюсь за свой ТеХ)

Добавлено спустя 3 минуты 32 секунды:

LIM(cos(x*x+y)/(1-x*x*y))^(1/(x*x*x*x+y*y));
(x,y)->(0,0)

LIM((1+arctg(xy))/(cos(x-y)))^(1/(x*x+y*y))
(x,y)->(0,0)

[photon]

Fi писал(а):

Помогите расколоть:

LIM(cos(x*x+y)/(1-x*x*y))^(1/(x*x*x*x+y*y))
(x,y)->(0,0)

Это, видимо,
$\lim \limits_{(x,y) \to (0,0)} \left (\frac{\cos(x^2+y)}{1-x^2y}\right)^{\frac{1}{x^4+y^2}}$

[Fi]

он самый

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

Я пытался по Тейлору, но что-то туговато идёт.
Тем более что задача звучит как "Найти предел или доказать несуществование предела."

[bot]

PAV набрал быстрее, правда я с перекуром набирал.
2Fi По поводу набора формул. Возьмите на вооружение простой обезьянний способ, которым и я не брезгую - ткните на цитирование и смотрите. Повторить ведь не сложно.
А по существу вопроса начните со своих мыслей.

Fi писал(а):

Я пытался по Тейлору, но что-то туговато идёт.

А прологарифмировать для начала не пробовали?

[photon]

bot писал(а):

PAV набрал быстрее, правда я с перекуром набирал.

А где он набрал?...

А по поводу тега - посмотрите, как это делать при помощи MathType - поначалу так получается быстрее

[PAV]

Я ничего не набирал... Это все photon... Все вопросы к нему...

[bot]

Sorry, просто я набрал ту же формулу из первого поста, но стёр, поскольку PAV меня опередил.

Добавлено спустя 3 минуты 6 секунд:

Оопс, опередил меня photon.

[Fi]

Моё решение:

1) Манёвр с геометрической прогрессией:

$\frac{1}{1-q}=1+q+q^{2}+o(q^{2})$ $\frac{1}{1-x^{2}y}=1+x^{2}y+(x^{2}y)^{2}+o((x^{2}y)^{2})$

2) Манёвр с О-символикой:
${x}^{4}{y}^{2}<=\frac{{x}^{8}+{y}^{4}}{2}=o({x}^{4}+{y}^{2})$

(*) $o((x^{2}y)^{2})=o(x^{4}+y^{2}+2{x}^{2}y)=o(x^{4}+y^{2}) + o(2{x}^{2}y) = o(x^{4}+y^{2})$
ибо
$o(2{x}^{2}y)=o({x}^{4}+{y}^{2}) т.к {x}^{2}{y}<=\frac{{x}^{4} +{y}^{2}}{2} $

3) Манёвр с Тейлором
$\cos({x}^{2}+y)=1-{x}^{4}/2-{y}^{2}/2-{x}^{2}y+o((x^{2}y)^{2})$
где по (*) $o(x^{2}y)^{2}) = o(x^{4}+y^{2})$

Итого $\frac{\cos(x^2+y)}{1-x^2y}=1-x^{4}/2-y^{2}/2-x^{4}y^{2}+o(x^4+y^2) = 1-x^{4}/2-y^{2}/2+o(x^4+y^2)$

И $(\frac{\cos(x^2+y)}{1-x^2y})^{\frac{1}{x^4+y^2}} = {(1-(x^4+y^2)/2+o(x^4+y^2)}^{\frac{1}{x^4+y^2}} => \frac{1}{\exp^{1/2}}$

Правильно?

[bot]

Ммм, вроде нет ...
Есть ещё один маневр, даже два, нет с учётом уже сказанного - три.
1) Спуститься на землю. Для этого логарифмируем, а после достижения результата опять взлетаем - потенцируем.
2) Возможно захочится добавить множитель (слагаемое) имеющий(ое) предел, который(ое) можно нокаутировать делением (вычитанием), чтобы упростить выражение и может быть даже свести его к одной переменной.
3) Попробовать пойти в предельную точку по удобной кривой или даже по двум разным - это либо сразу даст опровержение существования предела, либо даст гипотезу, чему он равен.
В данном случае, в качестве пробных кривых взять параболу.

[usualis]

нужно сделать замену y=k*x и найти предел, который равен 1

[Lion]

usualis писал(а):

нужно сделать замену y=k*x и найти предел, который равен 1

А кто сказал, что предел будет тем же при вычислении по другим кривым, например, по $y=x^2$?

[usualis]

я сказал, что матан учить надо!!!
можно перейти к полярным координатам и найти предел r->0, т.к. предел не должен зависить от способа приближения, т.е. от угла (тоже самое у=к*х, где k=tan(угла)),а придлижение идет по прямой
неверующие могут попробовать второй способ:
полагаем у=0 и ищем предел x->0
полагаем x=0 и ищем предел y->0
если пределы одинаковые, то предел существует. А он существует и равен 1

Добавлено спустя 31 минуту 22 секунды:

упс
один символ не учел предел равен не 1 а 1/sqrt(e)

[Brukvalub]

usualis писал(а):

я сказал, что матан учить надо!!!

умница!

usualis писал(а):

неверующие могут попробовать второй способ:
полагаем у=0 и ищем предел x->0
полагаем x=0 и ищем предел y->0
если пределы одинаковые, то предел существует. А он существует и равен 1

рассмотрим функцию двух вещественных переменных, равную нулю на осях и 1 во всех остальных точках плоскости. С ней Ваш номер тоже пройдёт?
И напоследок, снова

usualis писал(а):

я сказал, что матан учить надо!!!

золотые слова!

[usualis]

рассмотрим функцию двух вещественных переменных, равную нулю на осях и 1 во всех остальных точках плоскости. С ней Ваш номер тоже пройдёт?
если зададите непосредственно функцией z=f(x,y), то да.
если параметрами, то нужен другой подход (пример другого подхода- дифференцирование дельта функции Дирака)
и на последок, Brukvalub-у, нет универсального подхода, но есть различные подходы для различных задач

[Brukvalub]

usualis писал(а):

рассмотрим функцию двух вещественных переменных, равную нулю на осях и 1 во всех остальных точках плоскости. С ней Ваш номер тоже пройдёт?
если зададите непосредственно функцией z=f(x,y), то да.
если параметрами, то нужен другой подход (пример другого подхода- дифференцирование дельта функции Дирака)
и на последок, Brukvalub-у, нет универсального подхода, но есть различные подходы для различных задач

Какие подходы могут помочь человеку, не владеющему понятием предела? Вот Вам другой простейший пример, опровергающий все ваши подходы. Рассмотрим функцию двух вещественных переменных, равную нулю на окружности

\[ (x - 1)^2 + y^2 = 1 \]

и 1 во всех остальных точках плоскости. Эта функция имеет предел 1 по всем лучам с началом в нуле, но не имеет предела по базе проколотых окрестностей нуля. Так что не упорствуйте в своих заблуждениях, а учите матан.