Детский вопрос по СТО

[rustot]

Откуда появляются координаты в преобразовании Лоренца для времени?

Интервал между тиканиями летящего будильника в лабораторной системе отсчета $s^2 = c^2 t^2 - l^2 = t^2 (c^2-v^2)$, а в системе отсчета где будильник неподвижен $s'^2 = c^2 t'^2$, причем абсолютные координаты нигде не фигурируют и из равенства интервалов $t' = t \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}$ без дополнительного члена. Чего я не заметил?

[Munin]

Ваш вопрос неполно сформулирован, а домыслами заниматься не задача отвечающих. Выпишите преобразования Лоренца в той форме, о которой вы говорите, укажите, что вы подразумеваете под будильником, абсолютными координатами, и "преобразованием Лоренца для времени" и "появляющимися координатами", о которых вы спрашиваете.

[rustot]

Для движения по координате x и смещения будильника от начала координат второй системы на x' преобразование лоренца $t' = t \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} - \frac{v x'}{c^2}$, вот об $\frac{v x'}{c^2}$ и спрашиваю.

Под абсолютными координатами я имею в виду смещение x' будильника от начала координат во второй системе. Если начало координат во второй системе совпадает с будильником, то дополнительный член исчезает. Но как влияет выбор начала координат? Будильник неподвижен в любом случае

Будильник - объект генерирующий 2 события, между которыми мы измеряем время в двух системах отсчета. За начало отсчета времени t и t' берем момент когда он тикнул первый раз в каждой из систем.

Не надо отсылать к правильному выводу преобразований лоренца, мне интересно что именно в этом простом рассуждении неправильно. Для dt и dt' это очевидно правильный вариант и проблема в неучтенном смещении при выборе начала отсчета t=t'=0. Этот момент непонятен, неподвижный во второй системе отсчета будильник тикнул находясь по координате 0 или по координате x' - это же один и тот же момент времени для второй системы.

[Someone]

rustot в сообщении #530970 писал(а):

вот об $\frac{v x'}{c^2}$ и спрашиваю

Этот член учитывает различие в синхронизации часов в двух системах отсчёта.

[rustot]

А, все, вроде понял. Это эквивалентно тому, что мы начали отсчет времени когда будильник находился в начале координат обоих систем, а потом до завершения отсчета подвинули его во второй системе на x'. И интервалы соответственно стали $s^2 = c^2 t^2 - (l+x)^2$ и $s'^2 = c^2 t'^2 - x'^2$

[Munin]

На всякий случай: преобразования Лоренца - всегда во множественном числе, задаются как система уравнений. Рассматривать эти уравнения по отдельности не имеет смысла. Преобразования Лоренца, математически, это замена переменных $(x,t)$ на $(x',t'),$ которая производится одновременно: одна пара переменных (или, если хотите, двухкомпонентная переменная, выбранная в множестве $\mathbb{R}^2$) заменяется на другую пару.

Если вы рассматриваете движение любой частицы, будильника, стержня, и т. п., вы применяете преобразования Лоренца к величинам, описывающим эту частицу, будильник и т. п. То есть, движение будьльника задаётся в штрихованной системе мировой линией с уравнением $x'=x'_0=\mathrm{const},$ и именно это уравнение вы переводите в нештрихованную систему, применяя замену переменных "преобразования Лоренца" (в обратную сторону).

rustot в сообщении #530970 писал(а):

За начало отсчета времени t и t' берем момент когда он тикнул первый раз в каждой из систем.

Не можете, если вы используете преобразования Лоренца, оставляющие неподвижным начало координат (обычно именно такие и приводятся в учебниках). Из-за того, что будильник находится не в начале координат, время его первого тика либо в одной, либо в другой системе будет ненулевое. Неподвижность начала координат означает, что подразумевается какой-то другой будильник или просто событие, которое произошло в начале координат в обеих системах в нулевые моменты времени, а рассматриваемый будильник будет с этим событием либо в одной, либо в другой системе несинхронизирован (либо в обеих, если брать общий случай).

[rustot]

Munin в сообщении #531033 писал(а):

Преобразования Лоренца, математически, это замена переменных, которая производится одновременно: одна пара переменных

Как раз этот момент меня и интересовал, как в зависимость t' от t попало x'. Теперь понял

[Munin]

Элементарное упражнение: имея преобразования Лоренца в прямую сторону, найти в обратную. Вы заметите, что вам нужно оба уравнения.