2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Степенной ряд, найти область сходимости
Сообщение24.01.2012, 15:59 


19/10/09
155
Всем привет!
Помогите решить такую задачку.
Нужно найти область сходимости степенного ряда:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n$
Я применил формулу Коши-Адамара и получил, что данный ряд сходится на интервале $(-1, 1)$. Но случай $x=1$ и $x=-1$ я не смог исследовать.
Помогите пожалуйста.

Я попытался сделать так: $\dfrac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1-m)(n-2-m)\dots(1-m)m}{n!}x^n$
Если $x=-1$, то наш ряд начиная с некоторого момента становится знакопостоянным. Затем я использую признак Гаусса и получил, что ряд сходится если $m>-1$ и расходится если $m\leq -1$. Так как наш ряд знакопостоянный, то сходится он абсолютно если $m>-1$. Скажите пожалуйста правильно ли я решил для случая $x=-1$ ???

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 17:47 


19/10/09
155
Неужели никто не может помочь? :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 18:06 
Заслуженный участник


12/09/10
1547
Если $m$-положительное целое, то начиная с некоторого номера все следующие коэффициенты ряда будут равны нулю

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 18:09 


19/10/09
155
Cash
Ну это я понял.
А как для остальных случаев? То, что я написал оно верное?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:19 


17/01/12
445
Слушайте, кажется ряд ваш сходится при всех $x$. Формула коэффициентов у вас не что иное как формула биномиальных коэффициентов. Короче,
$$\frac {m(m-1)(m-2)\dots (m-(n-1))}{n!}=C_m ^n.$$
И сумма тогда так распишется:
$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} C_m ^n x^n=\sum \limits_{n=1}^m C_m ^n x^n + \sum \limits_{n=m+1}^{\infty} \frac {m(m-1)(m-2)\dots (m-(n-1))}{n!} x^n.$$
А дальше сами посмотрите на суммы. Первая это возведение в степень. А вторая равна нулю(то что Cash сказал).

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
Про бином Ньютона слышали?

-- Вт, 2012-01-24, 20:22 --

kw_artem, к Вам это тоже относится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:22 


19/10/09
155
kw_artem
мне кажется, что у Вас неправильно.
Там вообще по условию $m$ может быть любым вещественным числом, тогда то, что Вы сказали нарушается.

-- Вт янв 24, 2012 20:23:39 --

ИСН здравствуйте :D
да слышал про бином Ньютона. А что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:23 


17/01/12
445
ИСН в сообщении #530786 писал(а):
kw_artem, к Вам это тоже относится.

Я ошибся, первая сумма не бином Ньютона?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:24 


19/01/11
718
Используем формулу Коши-Адамара для нахождения радиус сходимость:
$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{n+1}{n-m}|=1$

где $a_n=\frac{(n-1-m)\cdot(n-2-m)\cdots(1-m)m}{n!}$

Если $x=-1$ , то составляем для числовой ряда соотношение:
$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{m+1}n+\frac{m(m+1)}{n(n-m)}$

используя признаком Гаусса, заключаем что степенной ряд сходится абсолютно если $m>0$ , и расходиться при $m<0$.

При $x=1$ ряд сходиться при $m>-1$ , и сходится условно при $-1<m<0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:25 


17/01/12
445
kw_artem в сообщении #530792 писал(а):
Там вообще по условию может быть любым вещественным числом, тогда то, что Вы сказали нарушается.

А-ааа,...да! Тогда другое дело! :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:27 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13438
с Территории
А то, что бином Ньютона обобщается на нецелые степени, и как раз... но здесь это, кажется, уже неактуально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение24.01.2012, 19:34 


19/10/09
155
myra_panama
а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение25.01.2012, 07:47 


19/01/11
718
RFZ в сообщении #530802 писал(а):
а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.


Потому что, знакочередующийся ряд:
$b_1-b_2+\cdots+(-1)^nb_{n-1}+\cdots$ , $b_n>0$

сходится, если $\frac{b_n}{b_{n+1}}=1+\frac{p}n+o(\frac1n)$, где $p>0$

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение25.01.2012, 11:07 


19/10/09
155
myra_panama в сообщении #530939 писал(а):
RFZ в сообщении #530802 писал(а):
а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.


Потому что, знакочередующийся ряд:
$b_1-b_2+\cdots+(-1)^nb_{n-1}+\cdots$ , $b_n>0$

сходится, если $\frac{b_n}{b_{n+1}}=1+\frac{p}n+o(\frac1n)$, где $p>0$

А как это можно доказать? У меня даже нет никаких мыслей насчёт этого

-- Ср янв 25, 2012 12:20:35 --

myra_panama
а можно ли для случая $x=1$ решить по-другому?

 Профиль  
                  
 
 Re: Степенной ряд
Сообщение25.01.2012, 11:25 


19/01/11
718
Это доказывается по признаку Лейбница. Если $p>0$ , то последовательность $b_n$ при $n>n_0$ монотонно убивая стремится к нулю.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group