Степенной ряд, найти область сходимости

[RFZ]

Всем привет!
Помогите решить такую задачку.
Нужно найти область сходимости степенного ряда:
$\sum \limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n$
Я применил формулу Коши-Адамара и получил, что данный ряд сходится на интервале $(-1, 1)$. Но случай $x=1$ и $x=-1$ я не смог исследовать.
Помогите пожалуйста.

Я попытался сделать так: $\dfrac{m(m-1)(m-2)\dots(m-n+1)}{n!}x^n=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1-m)(n-2-m)\dots(1-m)m}{n!}x^n$
Если $x=-1$, то наш ряд начиная с некоторого момента становится знакопостоянным. Затем я использую признак Гаусса и получил, что ряд сходится если $m>-1$ и расходится если $m\leq -1$. Так как наш ряд знакопостоянный, то сходится он абсолютно если $m>-1$. Скажите пожалуйста правильно ли я решил для случая $x=-1$ ???

[RFZ]

Неужели никто не может помочь?

[Cash]

Если $m$-положительное целое, то начиная с некоторого номера все следующие коэффициенты ряда будут равны нулю

[RFZ]

Cash
Ну это я понял.
А как для остальных случаев? То, что я написал оно верное?

[kw_artem]

Слушайте, кажется ряд ваш сходится при всех $x$. Формула коэффициентов у вас не что иное как формула биномиальных коэффициентов. Короче,

$$\frac {m(m-1)(m-2)\dots (m-(n-1))}{n!}=C_m ^n.$$

И сумма тогда так распишется:

$$\sum \limits_{n=1}^{\infty} C_m ^n x^n=\sum \limits_{n=1}^m C_m ^n x^n + \sum \limits_{n=m+1}^{\infty} \frac {m(m-1)(m-2)\dots (m-(n-1))}{n!} x^n.$$

А дальше сами посмотрите на суммы. Первая это возведение в степень. А вторая равна нулю(то что Cash сказал).

[ИСН]

Про бином Ньютона слышали?

-- Вт, 2012-01-24, 20:22 --

kw_artem, к Вам это тоже относится.

[RFZ]

kw_artem
мне кажется, что у Вас неправильно.
Там вообще по условию $m$ может быть любым вещественным числом, тогда то, что Вы сказали нарушается.

-- Вт янв 24, 2012 20:23:39 --

ИСН здравствуйте
да слышал про бином Ньютона. А что?

[kw_artem]

ИСН в сообщении #530786 писал(а):

kw_artem, к Вам это тоже относится.

Я ошибся, первая сумма не бином Ньютона?

[myra_panama]

Используем формулу Коши-Адамара для нахождения радиус сходимость:
$R=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}}|=\lim\limits_{n\to\infty}|\frac{n+1}{n-m}|=1$

где $a_n=\frac{(n-1-m)\cdot(n-2-m)\cdots(1-m)m}{n!}$

Если $x=-1$ , то составляем для числовой ряда соотношение:
$\frac{a_n}{a_{n+1}}=1+\frac{m+1}n+\frac{m(m+1)}{n(n-m)}$

используя признаком Гаусса, заключаем что степенной ряд сходится абсолютно если $m>0$ , и расходиться при $m<0$.

При $x=1$ ряд сходиться при $m>-1$ , и сходится условно при $-1<m<0$

[kw_artem]

kw_artem в сообщении #530792 писал(а):

Там вообще по условию может быть любым вещественным числом, тогда то, что Вы сказали нарушается.

А-ааа,...да! Тогда другое дело!

[ИСН]

А то, что бином Ньютона обобщается на нецелые степени, и как раз... но здесь это, кажется, уже неактуально.

[RFZ]

myra_panama
а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.

[myra_panama]

RFZ в сообщении #530802 писал(а):

а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.

Потому что, знакочередующийся ряд:
$b_1-b_2+\cdots+(-1)^nb_{n-1}+\cdots$ , $b_n>0$

сходится, если $\frac{b_n}{b_{n+1}}=1+\frac{p}n+o(\frac1n)$, где $p>0$

[RFZ]

myra_panama в сообщении #530939 писал(а):

RFZ в сообщении #530802 писал(а):

а почему при $x=1$ у вас сходится при $m>-1$.

Потому что, знакочередующийся ряд:
$b_1-b_2+\cdots+(-1)^nb_{n-1}+\cdots$ , $b_n>0$

сходится, если $\frac{b_n}{b_{n+1}}=1+\frac{p}n+o(\frac1n)$, где $p>0$

А как это можно доказать? У меня даже нет никаких мыслей насчёт этого

-- Ср янв 25, 2012 12:20:35 --

myra_panama
а можно ли для случая $x=1$ решить по-другому?

[myra_panama]

Это доказывается по признаку Лейбница. Если $p>0$ , то последовательность $b_n$ при $n>n_0$ монотонно убивая стремится к нулю.