Вопрос по жордановским алгебрам

[Bulinator]

Алгеброй Жордана над полем $\mathbb{F}$ называется коммутативная неассоциативная алгебра с законом умножения $\circ$, таким, что:

$$X\circ Y=Y\circ X\in J,\quad \forall X,Y\in J$$

и

$$X\circ(Y\circ X^2)=(X\cirx Y)\circ X^2, \quad X^2=X\circ X. $$

Для алгебры Жордана $J$ существует норма

$$ {\bf N}:J\to\mathbb{R}, $$

удовлетворяющая следующему соотношению:

$$ {\bf N}[2X\circ(Y\circ X)-(X\circ X)\circ Y]={\bf N}^2(X){\bf N}(Y). $$

Вопрос 1: откуда последнее утверждение?

Будем говорить, что жорданова алгебра имеет степень $p$, если ее норма удовлетворяет ${\bf N}(\lambda X)=\lambda^p{\bf N}(X)$. Евклидова жорданова алгебра это та, для которой из условия $X\circ X+Y\circ Y=0$ следует, что $X=Y=0$ для всех $X,Y\in J$.

....
Евклидовы жордановы алгебры третьей степени принадлежат бесконечному семейству непростых алгебр Жордана, которые являются прямой суммой

$$ J=\mathbb{R}\oplus\Gamma_{1,n-1}, $$

где $\Gamma_{1,n-1}$ $n$- мерная алгебра Жодана степени 2 ассоциированная с квадратичной нормой в $n$-мерии, которая имеет "сигнатуру Минковского" $(+,-,...,-)$ а $\mathbb{R}$- одномерная алгебра Жордана.

Вопрос 2: откуда это утверждение?

Источник: http://arxiv.org/abs/0908.0374(параграф 4)

[Xaositect]

Там есть ссылка на Structure and representation of Jordan algebras Джекобсона, смотрели ее?
В русской литературе Jordan algebras называются йордановыми алгебрами. Это не тот Жордан :)

[Bulinator]

Xaositect в сообщении #529439 писал(а):

В русской литературе Jordan algebras называются йордановыми алгебрами. Это не тот Жордан :)

Xaositect в сообщении #529439 писал(а):

Там есть ссылка на Structure and representation of Jordan algebras Джекобсона, смотрели ее?

Нет, не смотрел. Это все занимает так много времени :(
Ну что поделаешь? Пошел читать Джекобсона.

-- Сб янв 21, 2012 15:58:14 --

Спасибо за ответ!

[Bulinator]

А есть аналог левоинвариантных 1-форм для алгебр Йордана?