Поток вектора через конус в сфере.

[DimaIvanov09]

Задание: Найти поток вектора $F=2x^2i-6y^2j+9k$ через замкнутую поверхность $S: x^2+y^2+z^2 = 9, x^2+y^2 = z^2 (z \ge 0)$ в направлении внешней нормали. То есть поверхность - вырезанная конусом из положительной части сферы. Используем теорему Остроградского Гаусса:
$P=2x^2;$ $Q=-6y^2;$ $R=z^2$
$divF=4x-12y+2z$
А вот интеграл правильно не могу составить, получилось вот так (в сферических координатах):
$2\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{\frac\pi4}^{\frac{3\pi}4}d\Theta \int_{0}^{3}()$ - что в скобках не знаю.

[svv]

Как из $F=...+9k$ получилось $R=z^2$ ?

[DimaIvanov09]

Ошибся, там вместо $9k$ - $z^2k$

[svv]

1. В скобках должна быть вычисленная дивергенция.

2. Под интегралом должен быть правильный элемент объёма в сферических координатах: $r^2\,\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$.

3. По $r$ и $\varphi$ Вы правильно нашли пределы, а по $\theta$ нет. Например, двигаясь от начала координат в направлении $\theta=0$ (вертикально вверх), Вы по условиям задачи находитесь в пределах конуса, но в Ваши пределы $\frac{\pi}{4}\leqslant \theta \leqslant \frac{3\pi}{4}$ этот совершенно законный угол $\theta=0$ не попадает. Возможно, Вы не знали, что угол $\theta$ отсчитывается от положительного направления оси $Oz$ (т.е. от направления вертикально вверх, от Северного полюса).

4. Двойка перед интегралом не нужна. Возможно, Вы её написали потому, что у конуса есть две половины -- верхняя и нижняя. Но нижнюю надо отбросить, так как в условии у Вас $z\geqslant 0$.

Учтите все это, запишите правильно интегралы, продолжим.

[phys]

svv в сообщении #530166 писал(а):

Возможно, Вы не знали, что угол отсчитывается от положительного направления оси (т.е. от направления вертикально вверх, от Северного полюса).

А вот уж извольте, откедава хочу - оттуда и считаю, разным будет Якобиан перехода, что нужно просто знаю. Написано в любом учебники в разделе "вычисление тройного интеграла в криволинейных координатах"

[svv]

А Вы не заметили: автор написал, что считает в сферических! И просил помочь провернуть именно этот вариант.
Это если б Вы сами решали задачу...

[DimaIvanov09]

Вот так получается: $\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{-\frac\pi8}^{\frac\pi8}d\Theta \int_{0}^{3}r^2\,\sin\theta(4x-12y+2z)d\varphi\,d\theta\,dr$ Правильно?

[svv]

И всё-таки пределы по $\theta$ хромают.
Давайте так: я скажу, какие правильные, но Вы в Википедии прочитаете и разберётесь, ОК?
Сферическая система координат

(Пределы)

$\int\limits_{\theta=0}^{\frac{\pi}4}$

[DimaIvanov09]

Не умею я решать такие тройные интегралы, мне сначала надо найти первообразную $r^2$ и решить третий интеграл по $r$ или первообразную всего выражения?

[svv]

А с пределами по $\theta$ разобрались?

[DimaIvanov09]

$\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\frac\pi4}d\Theta \int_{0}^{3}r^2\,\sin\theta(4x-12y+2z)d\varphi\,d\theta\,dr$

[svv]

Вообще-то я имел в виду: понятно ли, почему именно такие пределы?

Хорошо, теперь надо декартовы координаты выразить через сферические (см. ту же статью в Вики).
DimaIvanov09, как только для Вас станет очевидным, что слагаемые $4x-12y$ (или то, во что они превратятся) можно выбросить из соображений симметрии, пожалуйста, сразу скажите.

[DimaIvanov09]

$3\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\frac\pi4}d\Theta \int_{0}^{3}r^2\,\sin\theta\cos\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr$ - вот так получилось, но честно говоря я не совсем понял почему выкинули $4x-12y$.

[svv]

Я не выбрасывал. Выбросить можно, но я прошу Вас это сделать только тогда, когда станет совершенно очевидно, что это можно сделать (и то, сначала скажите почему, а потом выбросим вместе). Без этого не выбрасывайте.

Откуда троечка у Вас перед интегралом?

[DimaIvanov09]

Я неправильно посчитал, $2\int_{0}^{2\pi}d\varphi \int_{0}^{\frac\pi4}d\Theta \int_{0}^{3}r^3\,\sin\theta\cos\theta\,d\varphi\,d\theta\,dr$ - вот так хотел. $r^2\sin\theta(4r\sin\theta\cos\varphi-12r\sin\theta\sin\varphi+2r\cos\theta)$ - это после перевода в сферические координаты. Первые два слагаемых в скобках я выбросил, двойку вынес за интеграл. Боюсь что не успею во всем разобраться, так как завтра сдавать надо.

-- 23.01.2012, 22:25 --

Пожалуйста, помогите с интегралом то