Не совсем простое уравнение с параметром

[Андрей123]

Здравствуйте. Может быть, у кого-нибудь есть идеи по решению следующей задачи.
При каких значениях параметра а уравнение $ln(|ln(ax)|)+ax^{3/4}+a(ln(x))^3-\sqrt{ax}+a=0$ имеет 1,2,3 решения.

[незваный гость]

Несколько тривиальных соображений:

1) Из-за члена с $x^{3/4}$ и логарифма, ООФ не шире $x > 0$

2) Из-за $\sqrt {a \, x}$ и, опять-таки логарифма, при $a \leq 0 $ функция не определена.

3) Соответственно, имеет место быть особенность при $x = 1/a$.

4) Первую прикидку поведения можно получить, рассмотрев пределы при стремлении к $x \to 0; 1/a; +\infty$

Ну а дальше — исследование функции с помощью производной

Последующее — просто глядя на графики (и потому неподтверждено ну никак):

а) при $x \in (1/a,\infty)$ монотонно растет

б) В целом, при $x \in (0,1/a)$ график имеет $\cap$ образную форму. Существует критическое значение, при котором вершина касается 0. При большем $a$ вершина меньше 0, при меньшем — больше.

[Андрей123]

Спасибо за помощь, но первые четыре пункта я и сам видел. И предположения точно такие же, правда, с доказательством для всех a возникают проблемы. Производная тоже имеет не очень приятный вид для исследования.Скажите пожалуйста, можно ли в Mathematica или Maple построить на плоскости (x;a) всё множество решений этого уравнения. Может, будут ещё какие-нибудь идеи.

[Someone]

Андрей123 писал(а):

можно ли в Mathematica или Maple построить на плоскости (x;a) всё множество решений этого уравнения. Может, будут ещё какие-нибудь идеи.

В Mathematica попробуйте команду ImplicitPlot.