На отрезок бросают две точки

[ewert]

PAV в сообщении #529667 писал(а):

Второе равенство неверно.

Да и первое тоже.

Кстати, и матожидание тоже никакого счёта не требует: всем известно про центр масс треугольника и про то, в каком отношении делят друг друга медианы...

[PAV]

Я не смотрел подробности Вашего вычисления двойного интеграла, но там Вы в начале как-то хитро от модуля избавляетесь. Я могу понять, что Вы имели в виду, но там бы тогда надо еще пределы интегрирования подправить соответствующим образом.

[Alex_CAPS]

PAV в сообщении #529674 писал(а):

Alex_CAPS в сообщении #529673 писал(а):

Корень зла в плотности распределения? А точнее в отсутствии квадрата...

да

$\int f_1 f_2 xydxdy$ где $f_1 = f_2 = \frac{1}{d}$

-- 21.01.2012, 22:10 --

PAV в сообщении #529676 писал(а):

Я не смотрел подробности Вашего вычисления двойного интеграла, но там Вы в начале как-то хитро от модуля избавляетесь. Я могу понять, что Вы имели в виду, но там бы тогда надо еще пределы интегрирования подправить соответствующим образом.

В начале - абсолютно согласен. Имелось в виду, что интегрирование производится на интервале от 0 до d

[ewert]

Не говоря уж о том, что интеграл от иксигрека тут не при чём -- вообще не следовало брать ничего подобного. Вам же не случайно намекнули в условии задачи: сначала надо найти функцию распределения искомой случайной величины, и уж только потом её матожиданиё. Вот ровно в этом порядке и следует действовать. Составители задач -- они ведь не всегда злыдни, они иногда и самим условием что-то подсказывают.

[Alex_CAPS]

ewert в сообщении #529679 писал(а):

Не говоря уж о том, что интеграл от иксигрека тут не при чём -- вообще не следовало брать ничего подобного. Вам же не случайно намекнули в условии задачи: сначала надо найти функцию распределения искомой случайной величины, и уж только потом её матожиданиё. Вот ровно в этом порядке и следует действовать. Составители задач -- они ведь не всегда злыдни, они иногда и самим условием что-то подсказывают.

Тогда поясните пожалуйста процесс нахождения функции распределения. Интегралы именно от недостатка её и использовал.

[ewert]

Формально говоря, функция распределения -- это тоже двойной интеграл от совместной плотности распределения по области, выделяемой соответствующим неравенством. Но говоря практически -- у Вас совместная плотность постоянна, и потому значения функции распределения сводятся просто к площадям этих областей, притом геометрически очень простых областей. Впрочем, Вам на это уже намекали, где-то в самом начале предыдущей страницы.

[Alex_CAPS]

ewert в сообщении #529664 писал(а):

Кстати, насчёт функции распределения. Если хоть немножко внимательно всмотреться в картинку, то становится ясно, что функция распределения не может быть (на отрезке от нуля до длины отрезка) ничем иным, кроме как $F(x)=1-\alpha(d-x)^2$. Ну а уж альфа после этого мгновенно получается из условия сшивания в нуле. Т.е. считать ничего фактически и не нужно.

Меня очень интересует, как выглядит та картина, которую я не могу увидеть.

[ewert]

Вот увидьте это сообщение (оно, кстати, было всего лишь вторым в ветке):

mihailm в сообщении #529632 писал(а):

В начале определение функции распределения надо написать, для ее вычисления воспользоваться геометрической вероятностью, множество элементарных событий квадрат и смотрим площадь соответствующего подмножества

Потом прочитайте его.

[Alex_CAPS]

Вы утверждаете, что первое неравенство $F = P(X<a; Y< b)$неверно. Почему?

[alcoholist]

Alex_CAPS в сообщении #529712 писал(а):

Вы утверждаете, что первое неравенство $F = P(X<a; Y< b)$неверно. Почему?

У нас скалярная случайная величина -- расстояние между точками:

$$ F(a)=P(|x-y|\le a) $$

[Alex_CAPS]

alcoholist в сообщении #529716 писал(а):

Alex_CAPS в сообщении #529712 писал(а):

Вы утверждаете, что первое неравенство $F = P(X<a; Y< b)$неверно. Почему?

У нас скалярная случайная величина -- расстояние между точками:

$$ F(a)=P(|x-y|\le a) $$

Я правильно понял, что из этого следует, что $F = \frac{|x-y|}{d}$?

-- 21.01.2012, 23:43 --

хотя нет. В таком случае в знаменателе должен быть хотя бы квадрат

[alcoholist]

$F$ величина безразмерная

[Alex_CAPS]

Давайте начнём с начала.
Мы знаем, что функция распределения $F(a)=P(|x-y|\le a)$ - вероятность того, что расстояние между точками будет меньше выбранной величины $a$. Если эта вероятность растёт линейно с увеличением $a$, $F(a) = \frac{a}{d}$.
Вы со мной согласны?

[--mS--]

Если растёт линейно, то конечно. Только она не растёт линейно. Область $\{(x,y)\in[0,d]\times[0,d] ~:~ |x-y|<a\}$ нарисовать в квадрате можете?

[Alex_CAPS]

--mS-- в сообщении #529757 писал(а):

Область $\{(x,y)\in[0,d]\times[0,d] ~:~ |x-y|<a\}$ нарисовать в квадрате можете?

Можем! Получается такая картина: Квадрат со стороной $d$ пересекают две прямые под углом $\frac{\pi}{2}$. Область $|x-y|<a$ находится между прямыми.
Теперь немного геометрии. Область определения - квадрат с площадью $d^2$. Площадь, где не выполняется неравенство равна $(d-a)^2$, следовательно область, в которой неравенство выполняется, имеет площадь $d^2 - (d-a)^2 = 2ad - a^2$