ДУ инвариантности области

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #529378 писал(а):

если $y_1(t)\le 0$ то не вышлo.

По первым членам разложения Тейлора может быть $y_1(t)=0,$ а решение - выходит.

[Oleg Zubelevich]

Munin в сообщении #529415 писал(а):

Oleg Zubelevich в сообщении #529378 писал(а):

если $y_1(t)\le 0$ то не вышлo.

По первым членам разложения Тейлора может быть $y_1(t)=0,$ а решение - выходит.

Ну, естественно, условия невырожденности в таких задачах накладывают, которые гарантируют, что скажем $\ddot y_1(0)\ne 0$.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #529378 писал(а):

дальше получается, что $(y_2,\ldots,y_n)$ это локальные координаты на $\partial D$. Область действия этих локальных координат состоит из подобласти $U$ в которой $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)<0$ и множества точкек $Q$ для которого $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)=0$ . Очевидно, решения не могут покидать $D$ пересекая $U$.
Пусть $(y'_2,\ldots,y'_n)\in Q$. Рассмотрите решение $y(t)$ такое, что $y(0)=(0,y'_2,\ldots,y'_n)$.
Разложите это решение по формуле Тейлора в точке $t=0$. И посмотрите что будет при малых $t>0$ Если $y_1(t)>0$ то решение вышло из $\overline D$ через точку границы с локальными координатами $(y'_2,\ldots,y'_n)$, если $y_1(t)\le 0$ то не вышлo.

$$y^1(t)=\frac{1}{2} u^i\frac{\partial u^1}{\partial y^i} t^2+\frac{1}{6}u^j\frac{\partial}{\partial y^j}\left(u^i\frac{\partial u^1}{\partial y^i}\right) t^3+\ldots$$

То что, коэффициент при $t^2$ будет $\leqslant 0$ я понимаю -- это производная $u^1$ по направлению вектора $u^i$. Допустим, этот коэффициент равен нулю. Почему $\leqslant 0$ коэффициент при $t^3$? И даже если все коэффициенты при всех степенях $t$ будут равны нулю, это еще не доказывает, что $y^1(t)\leqslant 0$, как заметил Munin

Oleg Zubelevich в сообщении #529422 писал(а):

Ну, естественно, условия невырожденности в таких задачах накладывают, которые гарантируют, что скажем $\ddot y_1(0)\ne 0$.

Почему мы должны накладывать какие-то дополнительные условия невырожденности? Пусть их не будет.

Тут надо как-то единственность решения ОДУ обыгрывать по-моему.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #529509 писал(а):

Допустим, этот коэффициент равен нулю. Почему $\leqslant 0$ коэффициент при $t^3$? И даже если все коэффициенты при всех степенях $t$ будут равны нулю, это еще не доказывает, что $y^1(t)\leqslant 0$, как заметил Munin

С этим, вроде ни кто не спорил, это, как Вы заметили высказал Munin, я ответил. Не очень понятно с какой целью вопрос поставлен вторично.

Padawan в сообщении #529509 писал(а):

Почему мы должны накладывать какие-то дополнительные условия невырожденности? Пусть их не будет.

Если Вы можете доказать утверждение об инвариантности области без дополнительных предположений -- пожалуйста приведите это утверждение и доказательство

-- Сб янв 21, 2012 16:49:49 --

кстати сказать, гипотеза из стартового поста вообще не верна. Без дополнительных предположений

[Padawan]

Доказать не могу, потому и написал в эту тему. Если помните, Вы сказали, что "дальше очевидно". Сейчас выясняется, что нужны какие-то дполнительные предположения.

Oleg Zubelevich в сообщении #529542 писал(а):

Если Вы можете доказать утверждение об инвариантности области без дополнительных предположений -- пожалуйста приведите это утверждение и доказательство

Утверждение как в стартовом посте -- поле $f(x)$ гладкое, на границе области удовлетворяет условию $(n,f)\leqslant 0$. Доказать, что интегральные кривые не могут выйти из области.

Oleg Zubelevich в сообщении #529231 писал(а):

в правильных координатах, векторное поле будет иметь вид $(u_1(y),\ldots,u_n(y))$ причем $u_1(0,y_2,\ldots,y_n)\le 0$ и точки $(y_1,\ldots,y_n)$ лежат внутри области если $y_1<0$; вне области -- $y_1>0$ Дальше все очевидно

Oleg Zubelevich в сообщении #529542 писал(а):

кстати сказать, гипотеза из стартового поста вообще не верна. Без дополнительных предположений

Контрпример приведите.

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #529554 писал(а):

Доказать не могу, потому и написал в эту тему.

Понятно, Вы тот человек, который ставит задачи руководит работой и оценивает полученные результаты.

Padawan в сообщении #529554 писал(а):

Контрпример приведите.

не, не приведу, забурился контрпример.

Выскажу некоторые соображения о том, почему гипотеза из стартового поста может быть ветаки верной.

Рассмотрим множество точек границы $\partial D$, для которых
$\langle f(x), n(x) \rangle = 0$ и траектории, стартующие из этих точек, находятся вне $\overline D$ при малых $t>0$. Обозначим это множество за $V$.
Тогда $V$ не может содержать непустое открытое подмножество. Действительно, если б такое подмножество было, скажем $U\subset V$ то поскольку векторное поле $f$ касается многообразия $U$, то всякое решение, начавшиеся на $U$ будет оставаться на $U$ некоторое время.
Предположим, что решение $x(t)$ таково, что $x(0)\in V$ и
$x(t)\notin \overline D$ при малых $t>0$. Тогда можно указать последовательность $\hat x_k\to x(0),\quad \hat x_k\in\partial D$ такую, что $\hat x_k\notin V$ и рассмотреть решения $x_k(t),\quad x_k(0)=\hat x_k$ По теореме о непрерывной зависимости решения от начальных данных должно быть противоречие.

ps у меня второй день отвратительно работает этот движок, в половине формул пишет "sourсe not found", хотя ошибок в ТeX как-будто нет, и периодически выдает пустую страницу при обращении к форуму. Надеюсь, что то, что я написал Вы сможете прочитать. Я не могу.

[Padawan]

Oleg Zubelevich в сообщении #529580 писал(а):

ps у меня второй день отвратительно работает этот движок, в половине формул пишет "sourсe not found", хотя ошибок в ТeX как-будто нет, и периодически выдает пустую страницу при обращении к форуму. Надеюсь, что то, что я написал Вы сможете прочитать. Я не могу.

Аналогично. Source not found на некоторых формулах. Наведением мышки прочитал )

[Oleg Zubelevich]

то, что я там выше написал, конечно тоже не доказательство, так что пока кроме разложений Тейлора и условий невырожденности ничего всеравно нет

[Munin]

Oleg Zubelevich в сообщении #529580 писал(а):

Понятно, Вы тот человек, который ставит задачи руководит работой и оценивает полученные результаты.

А вы - тот человек, который пишет сначала "очевидно", а потом долго чешет в затылке ручкой и исписывает семнадцать листов для раскрытия этой очевидности, попутно добавляя условия в исходную формулировку?

[Oleg Zubelevich]

Зададим область $D\subseteq \mathbb{R}^m$ с гладкой границей $\partial D$ с помощью функции $f(x)$ так, что $D=\{x\mid f(x)<0\},\quad\partial D=\{x\mid f(x)=0\}$
и $df(x)\ne 0,\quad x\in\partial D$. Зададим гладкое векторное поле $v(x)$ в $\mathbb{R}^m$. И будем считать, что $df(x)\circ v(x)\le 0,\quad x\in\partial D$.

Теорема. Множество $\overline D$ инвариантно относительно фазового потока системы с векторным полем $v$: если $x\in\overline D$ то
$g^t(x)\in \overline D$ для всех допустимых $t\ge 0$.

Доказательство. Предположим, найдется точка $\hat x\in\partial D$ такая, что $g^t(\hat x)\notin\overline D$ при $t\in (0,t']$.
Рассмотрим векторное поле $v(x,\sigma),\quad \sigma\in [0,\sigma')$ это поле гладкое в соответствующем прямом произведении и такое, что $v(x,\sigma)\to v(x)$ при $\sigma\to 0$ равномерно по $x$ в некоторой окрестности $U$ (окрестность в $\mathbb{R}^m$) точки $\hat x$. При этом $df(x)\circ v(x,\sigma)<0,\quad x\in U\bigcap \partial D,\quad \sigma\in(0,\sigma') $
Тогда $g^t_\sigma(\hat x)\to g^t(\hat x),\quad \sigma\to 0$ равномерно по $t\in [0,t'']$ где $0<t''\le t'$ -- достаточно малое число. Это противоречие, поскольку $g^t_\sigma(\hat x)\in \overline D$ при всех $t\in[0,t''],\sigma>0$, а $g^{t''}(\hat x)\notin \overline D$.

[Nimza]

Неплохая идея. Можно явно указать $v(x,\sigma) = v(x) - \sigma \nabla f(x)$?

(Оффтоп)

Такие семейства отображений принято называть гомотопиями?

[Padawan]

(Оффтоп)

Как все просто оказывается Там вместо противоречия можно просто к пределу перейти при $\sigma\to 0$, получится $g^t(\hat x)\in\overline D$

[sup]

Наверное можно проще (вариации на тему метода штрафа).
Пусть $g(x)$ - такая, что $\langle g(x), n(x) \rangle < 0$ на $\partial D$.
Рассмотрим диффур $\dot x = f(x) +\varepsilon g(x)$
Траектории этого диффура уже не выходят из области $D$. Переходим к пределу по $\varepsilon$.
Таким образом достаточно двух теорем: единственность и непрерывность по параметру.

[Oleg Zubelevich]

вообще-то, в условиях теоремы Пеано, непрерывность по параметру вытекает из единственности