Вопрос по отображениям

[Бабай]

Здравствуйте!

В книге Борисовича и др. "Введение в топологию" на стр. 110 обобщается понятие функции многих переменных.

Рассматривается отображение $f: \prod_{\alpha \in A} X_{\alpha} \rightarrow X$, где произведение снабжено тихоновской топологией.

Говорится:
"В общем случае отображение $f$ можно рассматривать как обобщение числовой функции от $n$ аргументов, считая, что оно зависит от переменных $x(\alpha) \in X_{\alpha}$. Если зафиксировать все значения $x(\alpha)$, кроме $x(\alpha_0)$, то получим функцию от одного аргумента, меняющегося в $X_{\alpha_0}$."

Потом пишут:
"Рассмотрим подпространство $X_{\alpha_0}'$ произведения $\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha} \rightarrow X$, состоящее из всех функций $x$, принимающих значение $x(\alpha)=y_{\alpha}, \alpha \neq \alpha_0$, где $y_{\alpha} \in X_{\alpha}$."

И теперь предлагают проверить: "Упражнение 9: Проверить, что $X_{\alpha_0}'$ гомеоморфно $X_{\alpha_0}$."

У меня уже мало мотивации строго проверять это, так как в моих глазах $X_{\alpha_0}'$ и $X_{\alpha_0}$ -- это просто одно и то же!…во всяком случае такое впечатление создаёт сам текст.

Однако потом они развивают всё это дальше:
"Пусть $\pi_{\alpha_0}: X_{\alpha_0} \rightarrow X_{\alpha_0}'$ - естественный гомеоморфизм (зависящий от фиксированных $y_{\alpha}, \alpha \neq \alpha_0$), а $f|_{X_{\alpha_0}'}$ -- сужение $f$ на $X_{\alpha_0}'$."

...Рисуется диаграмма, где это самое $\pi_{\alpha_0}$ выдаётся как нечто важное и вводится отображение $f_{\alpha_0}^{\{y_\alpha\}}: X_{\alpha_0} \rightarrow X, f_{\alpha_0}^{\{y_\alpha\}}=f|_{X_{\alpha_0}'} \circ \pi_{\alpha_0} $, которое "характеризует зависимость $f$ от аргумента $x(\alpha_0) \in X_{\alpha_0}$ при заданных значениях $y_{\alpha}$ остальных аргументов $x(\alpha)$."

Скажите, прав ли я в том, что это никому не нужное "раздутие" теории или я здесь всё-таки что-то не понял и поэтому ошибаюсь? Вроде всё это кажется пустяком, но меня это всё же интересует. По крайней мере это то место, где мне стало как-то очень "скучно" читать дальше. Захотелось даже не дочитывать, а перепрыгнуть и читать дальше про связность…но совесть не позволяет.

Буду рад Вашим комментариям.

[alcoholist]

Тут важно, что $X_{\alpha_0}'$ -- подпространство произведения, снабженного тихоновской топологией, а на $X_{\alpha_0}$ топология своя. Как раз и нужно показать что эти топологии совпадают.

[Someone]

Гомеоморфные пространства не обязательно идентичны.

Бабай в сообщении #529259 писал(а):

Потом пишут:
"Рассмотрим подпространство $X_{\alpha_0}'$ произведения $\prod_{\alpha \in A} X_{\alpha} \rightarrow X$, состоящее из всех функций $x$, принимающих значение $x(\alpha)=y_{\alpha}, \alpha \neq \alpha_0$, где $y_{\alpha} \in X_{\alpha}$."

Обратите внимание, что для разных $y_{\alpha}$ получаются разные подпространства $X_{\alpha_0}'$. Хотя и "естественно" гомеоморфные.

Бабай в сообщении #529259 писал(а):

...Рисуется диаграмма, где это самое $\pi_{\alpha_0}$ выдаётся как нечто важное и вводится отображение $f_{\alpha_0}^{\{y_\alpha\}}: X_{\alpha_0} \rightarrow X, f_{\alpha_0}^{\{y_\alpha\}}=f|_{X_{\alpha_0}'} \circ \pi_{\alpha_0} $, которое "характеризует зависимость $f$ от аргумента $x(\alpha_0) \in X_{\alpha_0}$ при заданных значениях $y_{\alpha}$ остальных аргументов $x(\alpha)$."

Обратите внимание на слова "при заданных значениях $y_{\alpha}$". При других значениях $y_{\alpha}$ получится другая зависимость.

Вам просто пытаются на формальном языке объяснить некоторую простую вещь.

Бабай в сообщении #529259 писал(а):

Захотелось даже не дочитывать, а перепрыгнуть и читать дальше

Если Вам это кажется совершенно понятным и очевидным, то, конечно, можете пропустить и читать дальше. Но обозначения всё-таки постарайтесь запомнить, они могут где-нибудь "вылезть", и Вы можете тогда не понять, о чём идёт речь.

Да, и, конечно, alcoholist прав: гомеоморфность действительно требует некоторого доказательства (конечно, простого), поскольку топологии действительно определены по-разному.

[Бабай]

Спасибо…ну да, убедили…всё-таки и правда стоит рассмотреть проекцию $p_{\alpha_0}|_{X_{\alpha_0}'}: \prod_{\alpha \in A} X_{\alpha} \rightarrow X_{\alpha_0}$.

При фиксированных $x(\alpha)=y_{\alpha}, \alpha \neq \alpha_0$ она, очевидно, инъективна. Сама по себе она и сюрьективна. Кроме того проекция суть непрерывное и открытое отображение, и значит в нашем случае в общем является гомеоморфизмом. След-но, обратное к нему $\pi_{\alpha_0}$ -- тоже гомеоморфизм.

Благодарю за внимание.