Рассмотрим уравнение

где

и

--- взаимно простые натуральные числа, хотя бы одно из которых не является точным квадратом. Пусть

(

,

) --- минимальное решение сопутствующего уравнения Пелля

. Уравнение

разрешимо тогда и только тогда, когда оно имеет такое решение

(

,

), что

. В этом случае все решения уравнения

имеют вид

, где

.
Отсюда, между прочим, вытекает такой неочевидный факт: уравнения

не могут быть одновременно разрешимыми.
При

,

имеем

,

, и все решения легко выписываются. В качестве бонуса: уравнение

при любом

решений не имеет.