Диофантово уравнение

[Cash]

Решить уравнение в целых числах
a) $x^2+x=2y^2+y$
b) $2x^2+x=3y^2+y$

[kw_artem]

Cash в сообщении #529498 писал(а):

a)

а в этом уравнении их случайно не бесконечное множество?

[Sonic86]

a) $\Leftrightarrow 2(2x+1)^2 = (4y+1)^2+1 \Leftrightarrow$ $ B^2-2A^2=-1, A=2x+1 \equiv 1 \pmod 2, B=4y+1 \equiv 1 \pmod 4$. Решаем уравнение $B^2-2A^2=-1$ стандартно: $A_0=1, B_0=1$ - частное решение, $(3,2)$ - решение $B^{2} - 2A^2=1$ и тогда $B_n+\sqrt{2} A_n = (1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^n$, откуда $B_{n+1} = 3B_n+4A_n,A_{n+1}=2B_n+3A_n$. Тогда $(\forall n)A_{n+1} \equiv A_{n} \equiv A_0 \equiv 1 \pmod 2$, а $B_{n+1} \equiv -B_n \equiv(-1)^{n+1} \pmod 4$, откуда $n$ четное и значит
$(4y_n+1)+\sqrt{2} (2x_n+1)=(1+\sqrt{2}) (3+2\sqrt{2})^{2n}$

b) по идее аналогично решается.

[nnosipov]

Интересно решать параметрические уравнения такого типа. Например $nx^2+x=(n+1)y^2+y$. При конкретном натуральном $n$ это довольно легко, а вот описать множество решений при произвольном $n$ получается далеко не всегда.

[Sonic86]

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #529565 писал(а):

$nx^2+x=(n+1)y^2+y$

Уравнение 3-й степени. Это тяжко

[Shadow]

nnosipov в сообщении #529565 писал(а):

Интересно решать параметрические уравнения такого типа. Например $nx^2+x=(n+1)y^2+y$. При конкретном натуральном $n$ это довольно легко, а вот описать множество решений при произвольном $n$ получается далеко не всегда.

Сводится к "уравнению Пелля" $(n+1)(2nx+1)^2-n[2(n+1)y+1]^2=1$ И с трудом (и угадыванием) получилось рекурентное

$\\x_0=0, y_0=0\\ x_{n}=(8n^2+8n+1)x_{n-1}+4(2n^2+3n+1)y_{n-1}+8n+6\\ y_{n}=4n(2n+1)x_{n-1}+(8n^2+8n+1)y_{n-1}+8n+2$

[nnosipov]

Shadow, а удалось доказать, что других решений нет? В принципе, здесь есть стандартные технологии, но они, правда, не всегда приводят к успеху.

[Shadow]

Я рассматривал общее уравнение $(n+1)p^2-nq^2=1$ (через подходящие дроби $\sqrt{\frac{n}{n+1}}$). Решением этого уравнения
$\\p_1=1, q_1=1\\ p_k=(2n+1)p_{k-1}+2nq_{k-1}\\ q_k=2(n+1)p_{k-1}+(2n+1)q_{k-1}$
Если это решение не упускает корни, то и исходное не упускает. Думаю, возможно доказать стандартными методами. Можно доказать (по индукции напр.), что
$\\p \equiv 1 \pmod{2n}\\ q \equiv \pm 1 \pmod{2(n+1)}$
Т.е исходному уравнению подходят половина этих решений ($q \equiv 1$)
Корни $x,y$, получаются из этих, значит достаточно доказать полноту решений $(n+1)p^2-nq^2=1$

В моем предыдущем сообщении нижние индексы должны быть k, а не n

[nnosipov]

Рассмотрим уравнение

$$ Ax^2-By^2=1, \eqno(*) $$

где $A>1$ и $B>1$ --- взаимно простые натуральные числа, хотя бы одно из которых не является точным квадратом. Пусть $\varepsilon=x_0+y_0\sqrt{AB}$ ($x_0 \geqslant 1$, $y_0 \geqslant 1$) --- минимальное решение сопутствующего уравнения Пелля $x^2-ABy^2=1$. Уравнение $(*)$ разрешимо тогда и только тогда, когда оно имеет такое решение $\eta=x_1\sqrt{A}+y_1\sqrt{B}$ ($x_1 \geqslant 1$, $y_1 \geqslant 1$), что $\eta^2=\varepsilon$. В этом случае все решения уравнения $(*)$ имеют вид $\pm \varepsilon^{k-1/2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, между прочим, вытекает такой неочевидный факт: уравнения

$$ Ax^2-By^2=1, \quad Bx^2-Ay^2=1 $$

не могут быть одновременно разрешимыми.

При $A=n+1$, $B=n$ имеем $\varepsilon=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$ , $\eta=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, и все решения легко выписываются. В качестве бонуса: уравнение $nx^2-(n+1)y^2=1$ при любом $n>1$ решений не имеет.