2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Диофантово уравнение
Сообщение21.01.2012, 14:44 
Заслуженный участник


12/09/10
1530
Решить уравнение в целых числах
a) $x^2+x=2y^2+y$
b) $2x^2+x=3y^2+y$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение21.01.2012, 15:08 


17/01/12
445
Cash в сообщении #529498 писал(а):
a)

а в этом уравнении их случайно не бесконечное множество?

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение21.01.2012, 15:45 
Заслуженный участник


08/04/08
8497
a) $\Leftrightarrow 2(2x+1)^2 = (4y+1)^2+1 \Leftrightarrow$ $ B^2-2A^2=-1, A=2x+1 \equiv 1 \pmod 2, B=4y+1 \equiv 1 \pmod 4$. Решаем уравнение $B^2-2A^2=-1$ стандартно: $A_0=1, B_0=1$ - частное решение, $(3,2)$ - решение $B^{2} - 2A^2=1$ и тогда $B_n+\sqrt{2} A_n = (1+\sqrt{2})(3+2\sqrt{2})^n$, откуда $B_{n+1} = 3B_n+4A_n,A_{n+1}=2B_n+3A_n$. Тогда $(\forall n)A_{n+1} \equiv A_{n} \equiv A_0 \equiv 1 \pmod 2$, а $B_{n+1} \equiv -B_n \equiv(-1)^{n+1} \pmod 4$, откуда $n$ четное и значит
$(4y_n+1)+\sqrt{2} (2x_n+1)=(1+\sqrt{2}) (3+2\sqrt{2})^{2n}$

b) по идее аналогично решается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение21.01.2012, 17:19 
Заслуженный участник


20/12/10
6395
Интересно решать параметрические уравнения такого типа. Например $nx^2+x=(n+1)y^2+y$. При конкретном натуральном $n$ это довольно легко, а вот описать множество решений при произвольном $n$ получается далеко не всегда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение21.01.2012, 19:31 
Заслуженный участник


08/04/08
8497

(Оффтоп)

nnosipov в сообщении #529565 писал(а):
$nx^2+x=(n+1)y^2+y$
Уравнение 3-й степени. Это тяжко :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.01.2012, 03:20 


26/08/11
1873
nnosipov в сообщении #529565 писал(а):
Интересно решать параметрические уравнения такого типа. Например $nx^2+x=(n+1)y^2+y$. При конкретном натуральном $n$ это довольно легко, а вот описать множество решений при произвольном $n$ получается далеко не всегда.
Сводится к "уравнению Пелля" $(n+1)(2nx+1)^2-n[2(n+1)y+1]^2=1$ И с трудом (и угадыванием) получилось рекурентное

$\\x_0=0, y_0=0\\
x_{n}=(8n^2+8n+1)x_{n-1}+4(2n^2+3n+1)y_{n-1}+8n+6\\
y_{n}=4n(2n+1)x_{n-1}+(8n^2+8n+1)y_{n-1}+8n+2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.01.2012, 06:32 
Заслуженный участник


20/12/10
6395
Shadow, а удалось доказать, что других решений нет? В принципе, здесь есть стандартные технологии, но они, правда, не всегда приводят к успеху.

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.01.2012, 11:07 


26/08/11
1873
Я рассматривал общее уравнение $(n+1)p^2-nq^2=1$ (через подходящие дроби $\sqrt{\frac{n}{n+1}}$). Решением этого уравнения
$\\p_1=1, q_1=1\\
p_k=(2n+1)p_{k-1}+2nq_{k-1}\\
q_k=2(n+1)p_{k-1}+(2n+1)q_{k-1}$
Если это решение не упускает корни, то и исходное не упускает. Думаю, возможно доказать стандартными методами. Можно доказать (по индукции напр.), что
$\\p \equiv 1 \pmod{2n}\\
q \equiv \pm 1 \pmod{2(n+1)}$
Т.е исходному уравнению подходят половина этих решений ($q \equiv 1$)
Корни $x,y$, получаются из этих, значит достаточно доказать полноту решений $(n+1)p^2-nq^2=1$

В моем предыдущем сообщении нижние индексы должны быть k, а не n

 Профиль  
                  
 
 Re: Диофантово уравнение
Сообщение22.01.2012, 18:26 
Заслуженный участник


20/12/10
6395
Рассмотрим уравнение
$$
Ax^2-By^2=1,
\eqno(*)
$$
где $A>1$ и $B>1$ --- взаимно простые натуральные числа, хотя бы одно из которых не является точным квадратом. Пусть $\varepsilon=x_0+y_0\sqrt{AB}$ ($x_0 \geqslant 1$, $y_0 \geqslant 1$) --- минимальное решение сопутствующего уравнения Пелля $x^2-ABy^2=1$. Уравнение $(*)$ разрешимо тогда и только тогда, когда оно имеет такое решение $\eta=x_1\sqrt{A}+y_1\sqrt{B}$ ($x_1 \geqslant 1$, $y_1 \geqslant 1$), что $\eta^2=\varepsilon$. В этом случае все решения уравнения $(*)$ имеют вид $\pm \varepsilon^{k-1/2}$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Отсюда, между прочим, вытекает такой неочевидный факт: уравнения
$$
Ax^2-By^2=1, \quad Bx^2-Ay^2=1
$$
не могут быть одновременно разрешимыми.

При $A=n+1$, $B=n$ имеем $\varepsilon=2n+1+2\sqrt{n(n+1)}$ , $\eta=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$, и все решения легко выписываются. В качестве бонуса: уравнение $nx^2-(n+1)y^2=1$ при любом $n>1$ решений не имеет.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group