Система дифуров

[bayak]

Где можно почитать про такую систему:
$\frac{\partial^{2}\varphi}{dx^{2}} + \frac{\partial^{2}\varphi}{dy^{2}} = 0 $
$ x\frac{\partial\varphi}{dx} + y\frac{\partial\varphi}{dy} = 0 $

-- Пт янв 20, 2012 22:24:35 --

[svv]

Я обозначу Вашу функцию $u$. Ваши уравнения в векторной форме:
$\Delta u = 0$
$\mathbf{r} \cdot\operatorname{grad}u=0$
Введем полярные координаты $\rho, \varphi$.
Второе уравнение показывает, что $\frac{\partial u}{\partial \rho}=0$
Тогда из первого уравнения получим $\frac {\partial^2 u}{\partial \varphi^2}=0$, а так как функция периодическая по $\varphi$, то и $ \frac{\partial u}{\partial \varphi}=0$, то есть $u$ константа.

[bayak]

Спасибо. Значит в двумерном случае решение тривиально. А если добавить ещё одну пару координат, то не исчезнет ли эта тривиальность?

[svv]

Думаю, не исчезнет. Векторные уравнения сохранят вид. То, что функция $u$ не зависит от радиальной координаты (следствие второго уравнения), позволяет рассмотреть первое уравнение на $n$-мерной сфере $S^n$ (в этом случае наш оператор Лапласа становится оператором Бельтрами-Лапласа). Далее, $S^n$ -- компакт, а непрерывная функция на компакте достигает верхней грани. Но существование экстремума противоречит самому уравнению Лапласа (вторые производные там будут одного знака). Здесь я немного халтурю, так как у нас на сфере уже чуть иное уравнение, но, думаю, для него это тоже справедливо.

[bayak]

Хорошо, а если второе уравнение заменить на такое:
$\left\langle \nabla u(x),x\right\rangle=f(r),$
то гармонические функции этой системы будут шаровыми функциями?

[svv]

Простите, здесь у Вас $x$ -- это уже не координата $x$, а радиус-вектор?

[bayak]

svv в сообщении #529723 писал(а):

Простите, здесь у Вас $x$ -- это уже не координата $x$, а радиус-вектор?

Да, конечно, а $r=|x|$. Но вообще-то, наверно, я загнул. Для начала, неплохо бы проверить случай $\operatorname{grad}u\cdot \mathbf{r}= \frac{\partial u}{\partial r}r = r $ (смесь ваших и моих обозначений).

[svv]

$\left\langle \nabla u(x),x\right\rangle=f(r)$
Я рассмотрю в двумерном случае. В такой форме второе уравнение говорит о том, что $\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}$ есть функция $\rho$.
Тогда и $\frac 1 {\rho}\frac{\partial}{\partial \rho}\left(\rho \frac{\partial u}{\partial \rho}\right)$ (радиальная часть лапласиана) тоже не зависит от $\varphi$.
Так как по первому уравнению лапласиан нулевой, то и "сферическая" часть лапласиана не зависит от $\varphi$, т.е. $\frac {\partial^2 u}{\partial \varphi^2}=c(\rho)$.
Отсюда при фиксированном $\rho$ угловая зависимость $u$ выглядит как $a_2\varphi^2+a_1\varphi+a_0$, но и здесь из требований непрерывности и периодичности единственный возможный случай -- константа (зависящая, возможно, от $\rho$). Дальше тривиально.

[bayak]

Ещё раз спасибо. И всё же, несмотря на то, что шаровые (сферические) функции тут ни при чем, не могли бы Вы порекомендовать литературу по этой теме?

[svv]

bayak, я лично не могу, к сожалению. Может быть, другие участники что-то посоветуют?

У нас здесь на форуме, кажется, где-то были специальные разделы типа "что читать по ...?"

-- Вс янв 22, 2012 19:22:40 --

Отправил Вам л/с.