С чего начать изучение математики?

[Nemiroff]

Между прочим, теорему Архимеда вы вполне могли бы сами добить:
- от противного, пусть $a$ такое, что нет натурального, большего его,
- значит, множество натуральных чисел ограничено,
- значит (!), есть верхняя грань $b$ (использовали аксиому),
- тогда возьмем число поменьше, по определению верхней грани есть натуральное, превосходящее его,
- этот пункт оставлю вам,
- пришли к противоречию.

Кантор посложнее. Ну вот почитайте хотя бы Вики, "пощупайте" теорему.

[SokolovArt]

Про теорему Кантора прочитал, но, к сожалению она там дана с доказательством (как теорема о вложенных отрезках). Поэтому писать какие-либо доказательства не имеет смысла.
Пункт - следовательно мы можем взять $c>b$ $c$ - натуральное, т.е. множество нат. чисел не ограничено.

[3.14]

Здравствуйте, все участники форума...SokolovArt, удачи вам в познании...Хорошее дело затеяли...Я не помню с чего я начал изучать эту самую математику и не эксперт в этом, но думаю, что пару советов дам(надеюсь дельных)..Не знаю как остальным, ну думаю рано вы за Фихтенгольца то взялись(хотя я сам его серьезно не читал, слышал про него)...Посмотрите такие,можно сказать классические вещи, как журнал "Квант" и библиотечка "Квант"(особенно библиотечку)..Там как раз есть такие книги,которые помогут осуществить плавный переход от школьной математики к "высшей"..Там и геометрия, и элементы мат анализа, и элементарная теория чисел, и алгебра, и теория вероятностей, и даже наглядная топология(особенно там будет интересная задача про колодцы и домики, про Кенигсбергские мосты и тд)...Тут вам еще рекомендовали книгу Зельдовича "Высшая математика для начинающих"..Могу еще по алгебре подсказать вот такую вещь - Новоселов "Специальный курс элементарной алгебры"..По графам можно почитать - Оре "Графы и их применения"...Потом можете посмотреть и мат логику с теорией множеств : Калужин. Элементы теории множеств и мат логики.(школьный курс)...Можно еще теорвер взглянуть : В.С. Лютикас. Теория вероятностей..Еще нужно знать и уметь пользоваться методом мат индукции..Вот например попробуйте доказать вот такую вещь : при $x > -1 , x \neq 0 $ и при целом $n \geqslant 2$ справедливо неравенство : $(1 + x)^n > 1 + xn$. Потом попробуйте доказать бином Ньютона...Кстати, чуть не забыл, если вы уже во всю разбираетесь с мат анализом, который читается в вузах, то для разнообразия можете посмотреть Зорич "Мат анализ в 2-х томах"...Там можно хорошо разобраться с начальными понятиями типо : счетность, несчетность, функция и тд...Особенно на понятия из теории множеств обратите внимание.. Если вы доказали, что множество $[0,1]$ - несчетно, то попробуйте доказать, что множество $(0,1)$ тоже несчетно...Хорошо понимайте определения(не совершайте чужих ошибок, например, моих)), особенно все эти определения предела и тд..Как уже писали, полезно взглянуть чем на мех-мате МГУ занимаются, в смысле программа курса(найти их легко, прям можно через поисковик)..В общем удачи вам и рад, если помог своими советами..

[SokolovArt]

Спасибо,3.14.
А насчёт Фихтенгольца, то пока вроде бы всё понятно... а, нет, не всё. Есть только один вопрос:
Есть неравенство, полученное из неравенства Бернулли $a^n={1+b}^n=1+nb+\frac {n{n-1}}{2}b^2+...>\frac {n{n-1}}{2} b^2$
Здесь всё понятно.Дальше:
Так как для $n>2$, очевидно $n-1> \frac {n}{2}$, то окончательно:
$a^n>\frac {{a-1}^2}{4} n^2$
Суть вопроса - как мы из 1-го неравенства получаем последнее.

-- 20.01.2012, 20:02 --

Скобки забыл, сори!
Хотя, быть может, моя ошибка в том, что сперва я просто чяитаю материал на понимание, а потом уже его учу (теоремы с доказательством).Честно говоря, я ещё ни одной теоремы не выучил, а просто прочитал и понял. Сегодня как раз собираюсь начать учить теоремы, леммы и т.п. из введения и теории пределов (с доказательствами конечно).