Периодическая система координат

[evgeniy]

Метрический тензор определяется из равенства
$g_{11}=\sum_{l=1}^3 (\frac{\partial x_l}{\partial \varphi_1})^2=1$
При этом он будет состоять их четной степени знаменателя преобразования к декартовым координатам. Умножаем на знаменатель дроби. Т.е. возникнет нелинейное уравнение в котором полиномиально войдут неизвестные функции и их частные производные. Полагаем $\varphi_1=\varphi_2=\varphi $. Далее умножая обе части этого равенства на величину $\exp(i m \varphi)$ и интегрируя по углу, синусы будут проинтегрированы. Получим систему полиномов от переменных $a_n,b_n$, являющихся разложением f,g.
Количество полиномов определяется, тем на сколько функций $\exp(i m \varphi)$ умножили это уравнение.
Т.е. доказано, что при любом количестве переменных существуют комплексные корни. Осуществляем предельный переход от конечной системы к бесконечной. Так как существует решение при любом конечном количестве неизвестных, предельный переход возможен.
Теперь по поводу обобщенных функций. Вы пишите, что обобщенные функции в виде ряда Фурье комплексные, и поэтому они не рассмотрены. но дело в том, что аргументы, углы действительны, а разбивая комплексную функцию на две части, действительную и мнимую получим два действительных ряда Фурье, для которых построены обобщенные функции. Так как обобщенные функции являются произвольными рядами Фурье, то и для рядов Фурье из действительной и мнимой части распространено понятие обобщенной функции.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #527972 писал(а):

Осуществляем предельный переход от конечной системы к бесконечной. Так как существует решение при любом конечном количестве неизвестных, предельный переход возможен.

Грубо ошибаетесь. Демонстрация невежества.
Предельный переход всегда нужно доказывать. Иначе получается чепуха.
Классический пример.
Возьмите полиномиальное $p_n(z) $приближение функции $e^z$. Для любого $ n$ уравнение $p_n(z)=0$ имеет $n$ комплексных корней. Однако в пределе уравнение $ e^z=0$ корнеj не имеет.

Про ряды Фурье. Приведите точную ссылку (книга, страница) на утверждение, что любой РФ сходится в смысле обобщенных функций.

[evgeniy]

Пример не корректный. Уравнение $\exp(z)=0$ имеет континиум корней $z=-\infty+i\alpha$. Значение $z=\infty$ рассматривается в ТФКП как некое число. Во многих книгах пишут $z=\infty+i\pi/2$. например, Бабич В.М. Булдырев В.С. Асимпототические методы в задачах дифракции коротких волн М.:"Наука", 1972г. Там на странице 412 в пределах интегрирования используется предел $+\infty \exp(-\frac{2 i \pi }{3})$.
Ссылку о РФ приведу завтра, нет под рукой Владимирова.

[Munin]

Во-первых, слова "континиум" нет в словаре. Во-вторых, ни одного числа вида "$-\infty+i\alpha$" нет в $\mathbb{C}.$ В-третьих, в книгах просто не могут писать $\infty+i\pi/2,$ по причинам, объяснять которые вам слишком долго.

(Оффтоп)

Имхо, это давно напрашивающиеся "Пургаторий" и бан...

[evgeniy]

Уважаемый Мunin. КАк всегда Вы слишком торопитесь. Я привел одну из книг где используется понятие бесконечности с комплексным множителем. Причем это монография. А в теории дифракции для обозначения пределов интегрирования широко используется такое представление комплексных чисел, надо бы Вам это знать.
И какое доказательство Вы хотели предъявить, тоже очень интересно.

[Munin]

evgeniy в сообщении #529369 писал(а):

Я привел одну из книг где используется понятие бесконечности с комплексным множителем.

Простите, что такое "бесконечность с комплексным множителем"?

И ни одной книги вы, пардон, не привели. Ни монографии, никакой.

evgeniy в сообщении #529369 писал(а):

А в теории дифракции для обозначения пределов интегрирования широко используется такое представление комплексных чисел, надо бы Вам это знать.

Видите ли, обозначение пределов - это далеко не то же самое, что сами комплексные числа.

[evgeniy]

Уважаемый Munin. ПОсмотрите мое сообщение перед Вашим Пт янв 20, 2012 18:35:34. Там четко указана книга и что такое произведение бесконечности на комплексное число.
Чем предел не комплексное число, я этого не понимаю, может быть Вы мне объясните. в понятие интеграла входит понятие нижнего и верхнего предела, которые обозначаются с помощью комплексных чисел. Т.е. существует понятие $+\infty \exp(- i 2 \pi/3)$.

[Munin]

evgeniy в сообщении #529401 писал(а):

Уважаемый Munin. ПОсмотрите мое сообщение перед Вашим Пт янв 20, 2012 18:35:34. Там четко указана книга и что такое произведение бесконечности на комплексное число.

Да, видимо, книгу вы добавили после.

Только то, что там написано, вами не понято. Повторяю, предел интегрирования $+\infty \exp(-\frac{2 i \pi }{3})$ - никакое не число. Нету такого комплексного числа. Нету.

evgeniy в сообщении #529401 писал(а):

Чем предел не комплексное число, я этого не понимаю

Ровно тем же, чем предел и не действительное число. В теории пределов пишут значки типа $+\infty,$ $\infty,$ $+0,$ $-0,$ $x+0$ и т. п. - это всё не числа. Не бывает числа $7+0,$ бывает число $7.$ Если к нему прибавить $0,$ всё равно получится $7.$ А пределы разные.

Это всё элементарные знания на уровне первого курса. Если вы их не знаете - нет никакого смысла лезть во что-то ещё более сложное (типа задач дифракции). Оставайтесь на уровне подсчёта сдачи в магазине.

evgeniy в сообщении #529401 писал(а):

в понятие интеграла входит понятие нижнего и верхнего предела, которые обозначаются с помощью комплексных чисел.

Да. Обозначается с помощью, как было очень удачно сформулировано. Это не значит, что сам предел интегрирования - обязательно комплексное число. Но комплексные числа используются в обозначениях, которые позволяют задать этот предел.

evgeniy в сообщении #529401 писал(а):

Т.е. существует понятие $+\infty \exp(- i 2 \pi/3)$.

Да, понятие - существует. В теории предела. А комплексного числа такого - не существует.

[evgeniy]

Мне как то это странно слышать. В одной теории существует понятие комплексного числа $\infty \exp(-2i \pi/3)$, а в другой нет. Может быть Вы скажете что обозначение
$\frac{1}{x+i 0}$
существует только в теории обобщенных функций, а это обозначение из сорта 7+0. Раз используют комплексные числа для обозначения $\infty \exp(-2i \pi/3)$, то значит такое комплексное число существует.
А если такое обозначение не существует, то его надо ввести, хотя бя для того, чтобы уравнение $\exp(z)=0$ имело множество корней, и наблюдался непрерывный переход от полинома конечной степени до экспоненты. ОНо будет иметь тот же смысл, что и в теории пределов интегралов.
Приведите другие примеры, когда при конечных суммах ряда имеются корни, а при бесконечной сумме ряда таких корней нет.
Неизвестно кому нужно оставаться на уровне подсчета сдачи в магазине.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Какое-то феноменальное невежество, впервые с таким сталкиваюсь (я имею в виду последние сообщения evgeniy). Ссылки на литературу только усугубляют дело.

[Someone]

evgeniy в сообщении #529421 писал(а):

В одной теории существует понятие комплексного числа $\infty \exp(-2i \pi/3)$, а в другой нет

Ни в какой теории не существует такого комплексного числа. Комплексное число - понятие, очень давно ставшее совершенно стандартным. Обратите внимание, что множество комплексных чисел - это поле, в котором, как и должно быть в поле, определены операции сложения и умножения, удовлетворяющие ряду условий, которые перечислены, например, вот здесь: http://dxdy.ru/post243117.html#p243117. Невозможно определить сложение и умножение для Ваших "чисел" так, чтобы для комплексных чисел они совпадали с обычными, и чтобы при этом сохранялись все обычные свойства сложения и умножения в поле (плюс подразумеваемые в таких случаях свойства непрерывности).
Ваша ссылка не корректна - там это обозначение используется не как комплексное число; и вообще, все сколько-нибудь грамотные люди понимают, что обозначения такого рода, содержащие арифметические операции с символами $\infty$ и $0$, в различных случаях могут означать что угодно, кроме чисел. Это относится и к выражениям типа $\frac 1{x+i0}$. Если это число, то это число $\frac 1x$, и ничего другого. А если автор такое написал, значит, скорее всего, он имел в виду что-то другое, а вовсе не число. Смысл подобных обозначений может существенно зависеть от контекста, в котором они используются.

[Munin]

evgeniy в сообщении #529421 писал(а):

Мне как то это странно слышать. В одной теории существует понятие комплексного числа $\infty \exp(-2i \pi/3)$, а в другой нет.

Как вам уже сказали, такого комплексного числа ни в одной теории нет. А вообще, то, что в разных теориях - разные объекты, должно быть естественным. В теории действительных чисел нет числа $i,$ например.

evgeniy в сообщении #529421 писал(а):

Может быть Вы скажете что обозначение $\frac{1}{x+i 0}$ существует только в теории обобщенных функций, а это обозначение из сорта 7+0.

Нет, оно существует в теории интегрирования, и это не обозначение из сорта 7+0, это совсем другое обозначение. Оно указывает, не по какому направлению брать предел, а с какой стороны обходить полюс.

evgeniy в сообщении #529421 писал(а):

А если такое обозначение не существует, то его надо ввести, хотя бя для того, чтобы уравнение $\exp(z)=0$ имело множество корней

Бредовое требование. У этого уравнения и так есть множество корней - пустое. А если вы хотите потребовать, чтобы у него был хотя бы один корень, то чем это лучше требования, чтобы у уравнения 1=0 был хотя бы один корень? Перебьётесь - и всё тут. Математика - не ваша тётушка, чтобы во всём вам угождать.

[shwedka]

(Оффтоп)

я потратила пятницу на перелет в Мексику,
много здесь без меня произошло

А ТС продолжает обманывать.

evgeniy в сообщении #529401 писал(а):

Там четко указана книга и что такое произведение бесконечности на комплексное число.

Неправда. Не указано, что такое это произведение.

(Оффтоп)

Я была бы против переноса в пургаторий. ТС относится к крайне вредной породе. Такие, как он, уверены, что законы математики им не писаны, что если есть уравнение, то оно всегда разрешимо, к пределу переходить можно всегда,все ряду сходятся и тп. Мне кажется, что в целях воспитания молодежи нужно производить публичную порку.

[Munin]

(Оффтоп)

shwedka в сообщении #529672 писал(а):

Я была бы против переноса в пургаторий. ТС относится к крайне вредной породе.

Это как раз повод для переноса в.

shwedka в сообщении #529672 писал(а):

Мне кажется, что в целях воспитания молодежи нужно производить публичную порку.

Вообче-то да, но следите, чтобы она не затягивалась до бесконечности, а то это перестаёт выглядеть поркой.

В общем, вожжи у вас.

[evgeniy]

shwedka доказательство сходимости ряда Фурье в классе обобщенных функций есть в книге В.С. Владимиров Обобщенные функции в математической физике М.: «Наука», 1976г. Гл.II, параграф 2., стр. 118 Если у Вас другой год издания, то называется параграф Ряды Фурье обобщенных функций.
Еще у того же автора есть книга кажется называется Обобщенные функции, там это тоже есть, и сформулировано проще.
Почему я говорю, что если любое конечное число членов суммы имеет комплексные корни, то и бесконечное число членов суммы должно иметь корни. Простое рассуждение. Что такое выполнение условий для бесконечного числа членов, это означает, что существует такое N что любого конечного n удовлетворяющего условию n>N выполняются эти условия. Так вот такое N в данном случае любое число, при выполнении условия n>N для любого конечного n корни существуют. Подчеркиваю в определении бесконечности стоит любое конечное число членов n. Поэтому мне не понятен Ваш пример. И я нашел контраргументы против этого примера. Если устремить n к бесконечности, то асимптотика корней $-P(n)+i \alpha_n,P(n)>0$. Эту асимптотику необходимо продолжить по непрерывности числа членов ряда. Правда бесконечной системе удовлетворяют и корни $-\infty+i \alpha$ , но это связано с предельным переходом счетного множества корней.
Приведите другой пример существования у конечной системы корней и отсутствия таких корней у бесконечной системы.
Munin, в монографии Л.М. Бреховских Волны в слоистых средах М.:,1957г, глава IV раздел 3 стр. 217, раздел называется Разложение сферических волн на плоские.
В этой книге вводится понятие бесконечности умноженной на функцию, причем сходимость к этому выражению, переписываю формулы из этой книги
$k_x \to \infty \cos\varphi, k_y \to \infty \sin\varphi, k_z \to i \infty$
так что у меня есть весьма почтенный сотоварищ, аналогичным образом использующий понятие бесконечности. Компонента волнового числа не может стремиться к бесконечности по физике процесса, а конечным числом она может быть. Математики может быть неявно, но используют это понятие, подставляя предел интегрирования в исследуемые функции, доказывая, что они малы. При этом реализуется предельный переход, значение которого можно рассматривать как положительную бесконечность, умноженную на произвольную функцию. Т.е. достаточно определить бесконечность как положительную и умножая ее на комплексное число получать необходимый аппарат для перехода к пределу.
Я понимаю, что действия с бесконечностью аксиоматизировать трудно, разность и сумма бесконечностей является той же бесконечностью. Но ввести направление бесконечности вполне реально, что и делается в приложениях. Что говорит в пользу такого предложения. Да то, что математики различают мнимый бесконечный предел и действительный бесконечный предел, которые соответствуют мнимой бесконечности и действительной бесконечности, и даже комплексный бесконечный предел, который соответствует комплексной бесконечности. Кроме того, к действительной бесконечности можно добавить мнимое число, также как и к мнимой бесконечности добавить действительное число, такие понятия можно аксиоматизировать. Причем эти понятия широко используются в приложениях, я имею в виду комплексный предел с бесконечными членами, как у Бреховских.
Возникает вопрос как определить действие с бесконечностью. Ведь в курсе ТФКП говорится, что с понятием число - бесконечность нельзя производить действия. Но при этом говорится, что в некоторых случаях бесконечность можно рассматривать как число в стереоскопической проекции см. Фукс, Шабат Функции комплексного переменного и некоторые их приложения, раздел 5,стр31, 1964г.
Во-первых существует понятие конечного числа и понятие бесконечного, но числа, обозначаемого символом $\infty$. Этим символом можно обозначить целую положительную бесконечность, получаемая при целом положительном n, стремящемся к бесконечности, что можно описать с помощью стереоскопической проекции. При этом при действиях над комплексными числами изменяется коэффициент перед числом бесконечность. Причем складываются коэффициенты при одинаковых функциях от числа бесконечность. Кроме того, производятся действие над числом бесконечность, рассматриваемое как некое постоянное число. Сумма числа бесконечность с конечными числами равна числу бесконечность. Сумма счетного количества слагаемых равна числу бесконечность, в некоторой степени, возможно нулевой, умноженное на комплексное число (возможно в частности действительное или мнимое число). Вводится понятие степени числа бесконечность. При перемножении чисел - бесконечность их показатели складываются. Как мне кажется, при соблюдении этих правил, понятие предельного перехода при использовании предела интегрирования будет эквивалентно понятию комплексного числа бесконечность, во всяком случае, я так его строил. Если я ошибаюсь, пусть укажут в чем, и еще лучше пусть укажут какие уточнения необходимо внести, чтобы определить правила-аксиомы действия с числом бесконечность.
Какие из этого будут выгоды? Во-первых возможно будет наблюдаться гладкий переход в вопросе о существования корней конечного ряда и бесконечного ряда. Во всяком случае в примере, приведенном shwedka. Во-вторых будет узаконено используемое в практике рассмотрение бесконечности, как числа (см. пример из монографии Бреховских, где он составляет произведение бесконечности на функцию, рассматривая это произведение как число, к которому стремятся компоненты волновых чисел).
Аналогично бесконечности можно рассмотреть понятие нулевого числа, как предельной точки последовательности 1/n с теми же правилами действия и суммирования. Причем произведение числа ноль и числа бесконечность равно единице, что просто замечательно.
Если у меня будет время, то по ссылке товарища Soneone я постараюсь построить кольцо чисел в котором будут участвовать число ноль и число бесконечность.

-- Пн янв 23, 2012 15:53:47 --

Уважаемый someone отмечу, что обозначение $\frac{1}{x+i 0}=\lim_{\varepsilon \to 0} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x+i \varepsilon}dx,$ определяется по этой формуле и в соответствии с написанным мною выше ноль может рассматривать как число.