Экстремум, достаточные условия

[mr.tumkan]

Исследовать функцию на экстремум

$z(x,y)=x^2+4y^2-12xy$

Не получилось исследовать до конца, определитель получился равным нулю..

1) Необходимые условия

$z'_x=2x-4y=0$

$z'_y=8y-12x=0$

$(0;0)$

2) Достаточные условия:

$z''_{xx}=2$

$z''_{xy}=-4$

$z''_{yy}=8$

$$\begin{vmatrix} z''_{xx} & z''_{xy}\\ z''_{yx}& z''_{yy}\\ \end{vmatrix}=2\cdot 8-16=0$$

Если он равен нулю, то как узнать -- есть ли в точке $(0;0)$ экстремум?

[ИСН]

Там половинка нигде не это самое?

[Профессор Снэйп]

У Вас кривая вообще какого рода? Эллипс, гипербола, парабола, нечто другое. С этим для начала определитесь!

-- Пт янв 20, 2012 18:22:57 --

Предположите, что $x^2 + 4y^2 - 12xy = C$, где $C$ - максимум. Если измените $C$ на любое маленькое $\varepsilon$, т о кривая станет вырожденной. Отсюда пляшите.

[ewert]

mr.tumkan в сообщении #529211 писал(а):

Если он равен нулю, то как узнать -- есть ли в точке $(0;0)$ экстремум?

Посмотреть в справочнике или учебнике -- там этот случай должен обсуждаться. Но у Вас всё-таки не он (см. ИСН).

[Профессор Снэйп]

Не, ну ваще. Кривая второго порядка, а народ кидается какие-то частные производные считать!

[ИСН]

А то. Я хотел сначала посоветовать, раз 0, посчитать производные следующих порядков... но передумал.

[ewert]

(Оффтоп)

Профессор Снэйп в сообщении #529294 писал(а):

Кривая второго порядка, а народ кидается какие-то частные производные считать!

Народ не сам кидается -- народа начальство заставляет.

ИСН в сообщении #529299 писал(а):

Я хотел сначала посоветовать, раз 0, посчитать производные следующих порядков... но передумал.

Посчитать, конечно, можно -- иногда помогает. А иногда и нет. Вот и тут: хоть до посинения считай -- ни разу не поможет.

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #529222 писал(а):

Там половинка нигде не это самое?

А вроде как не должна быть тут половинка перед $z''_{xy}$ в определителе матрицы Гессе
http://ru.wikipedia.org/wiki/Гессиан_функции

Это вроде как в приведении квадратичной формы к каноническому виду должна быть половинка, а здесь -- нет..

Где еще могут быть половинки -- не знаю...

-- 20.01.2012, 18:17 --

Профессор Снэйп в сообщении #529278 писал(а):

У Вас кривая вообще какого рода? Эллипс, гипербола, парабола, нечто другое. С этим для начала определитесь!

-- Пт янв 20, 2012 18:22:57 --

Предположите, что $x^2 + 4y^2 - 12xy = C$, где $C$ - максимум. Если измените $C$ на любое маленькое $\varepsilon$, т о кривая станет вырожденной. Отсюда пляшите.

Нужно с помощью производных сделать...

-- 20.01.2012, 18:22 --

ewert в сообщении #529293 писал(а):

Посмотреть в справочнике или учебнике -- там этот случай должен обсуждаться. Но у Вас всё-таки не он (см. ИСН).

Я посмотрел в справочнике -- тут нет ответа..
http://www.pm298.ru/nper4.php

[ewert]

mr.tumkan в сообщении #529373 писал(а):

Где еще могут быть половинки -- не знаю...

Прошу прощения, мы ошиблись, там не половинки. Там гораздо хуже:

mr.tumkan в сообщении #529211 писал(а):

$z'_x=2x-4y=0$

Ну не могли ж мы даже и предположить, что Вы нас так обманете!

[mr.tumkan]

ewert в сообщении #529211 писал(а):

$z'_x=2x-4y=0$
Ну не могли ж мы даже и предположить, что Вы нас так обманете!

Точно, виноват...

А все-таки -- что делать, если вдруг получился ноль (да, в этом примере -- не ноль)?

[ИСН]

Следующие производные искать

[mr.tumkan]

ИСН в сообщении #529400 писал(а):

Следующие производные искать

Спасибо! А как они нам помогут? Допустим, что мы посчитали все частные производные третьего порядка...Как это нам поможет определить экстремум есть или нет и максимум или минимум?

[Yu_K]

Смотрите разложение в ряд Тейлора.

[ИСН]

Если они не 0, то экстремума нет. Если 0, то смотреть 4 порядок. Там примерно та же история, что и на втором. И так далее.

[mr.tumkan]

Yu_K в сообщении #529408 писал(а):

Смотрите разложение в ряд Тейлора.

Посмотрел разложение Тейлора для функции двух переменных. А оно поможет ?

Разложением в ряд Тейлора функции $f(x,y)$ по степеням $(x-x_0)^k$ и $(y-y_0)^k$ в окрестности точки $(x_0, y_0)$ будет

$f(x,y)=\sum\limits_{k=0}^n \dfrac {\mathrm{T}^k f(x_0,y_0)} {k!} + R_n(x,y),$

$\mathrm{T}=(x-x_0)\dfrac {\partial} {\partial x}+(y-y_0)\dfrac {\partial} {\partial y}$

-- 20.01.2012, 20:35 --

ИСН в сообщении #529425 писал(а):

Если они не 0, то экстремума нет. Если 0, то смотреть 4 порядок. Там примерно та же история, что и на втором. И так далее.

Все производные третьего порядка одновременно должны равняться нулю или какая-то их комбинация?