Три маленьких УЦЧ

[Ktina]

Решить в целых числах уравнения:

а) $x^2+615=2^y$
б) $x^2+y^4-10=2^z$
в) $x^2+5^y-10=2^z$

[hippie]

Пункт (а) совсем очевидный.
Левая часть при делении на 3 может давать остатки только 0 и 1. Поэтому y чётное. Следовательно
615 = 4^(y/2)-x^2 = (2^(y/2)+x)(2^(y/2)-x).
Таким образом задача сводится к конечному перебору.
Ответ: x=+-59; y=12.

[kw_artem]

1) $x=\pm 59, y=12$

-- 19.01.2012, 22:12 --

3) $x=\pm 3, y= 1, z=2$

[Ktina]

kw_artem в сообщении #529008 писал(а):

3) $x=\pm 3, y= 1, z=2$

Есть ещё решения

[hippie]

Ktina в сообщении #529018 писал(а):

kw_artem в сообщении #529008 писал(а):

3) $x=\pm 3, y= 1, z=2$

Есть ещё решения

Конечно, есть ещё решения:
x=+-1, y=2, z=4;
x=+-7, y=2, z=6;
x=+-59, y=4, z=12.

А главный вопрос (ко мне, и к другим отвечающим) — есть ли ещё какие-нибудь решения???
ПОКА ЧТО у меня на этот вопрос нет ответа.

[kw_artem]

hippie в сообщении #529033 писал(а):

ПОКА ЧТО у меня на этот вопрос нет ответа.

щас узнаешь

-- 19.01.2012, 23:02 --

если скажут

[hippie]

hippie в сообщении #529033 писал(а):

Конечно, есть ещё решения:
x=+-1, y=2, z=4;
x=+-7, y=2, z=6;
x=+-59, y=4, z=12.

Забыл ещё случай y=0:

x=+-5, y=0, z=4.

[=SSN=]

Ktina в сообщении #528996 писал(а):

б) $x^2+y^4-10=2^z$

б) x = ±5, y = ±1, z = 4.

[Toucan]

kw_artem в сообщении #529037 писал(а):

щас узнаешь

kw_artem, замечание за фамильярность. Читайте Правила форума:

Правила форума в http://dxdy.ru/post27356.html#p27356 писал(а):

1) Нарушением считается:
…
е) ..., фамильярность (у нас принято обращаться друг к другу на "Вы")...

[hippie]

=SSN= в сообщении #529176 писал(а):

Ktina в сообщении #528996 писал(а):

б) $x^2+y^4-10=2^z$

б) x = ±5, y = ±1, z = 4.

А ещё:
x = ±21, y = ±3, z = 9;
x = ±59, y = ±5, z = 12.

Проблема остаётся всё та же: выяснить, есть ли другие решения.

[nnosipov]

hippie в сообщении #529185 писал(а):

Проблема остаётся всё та же: выяснить, есть ли другие решения.

Такое ощущение, что сделать это будет очень непросто. Может, уже пора попросить ТС раскрыть карты?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #529281 писал(а):

hippie в сообщении #529185 писал(а):

Проблема остаётся всё та же: выяснить, есть ли другие решения.

Такое ощущение, что сделать это будет очень непросто. Может, уже пора попросить ТС раскрыть карты?

(Оффтоп)

В моих картах, к сожалению, перебор. Думала сперва запостить, а после решить, но не рассчитала силы (это я про пункты б) и в), конечно). Больше так не буду делать (да и раньше делала крайне редко). Теперь буду постить только те задачи, которые решила сама.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #529678 писал(а):

(Оффтоп)

В моих картах, к сожалению, перебор. Думала сперва запостить, а после решить, но не рассчитала силы (это я про пункты б) и в), конечно). Больше так не буду делать (да и раньше делала крайне редко). Теперь буду постить только те задачи, которые решила сама.

(Оффтоп)

У меня такое тоже бывает: прокручиваешь решение задачи в голове, и кажется, что оно есть. Садишься записывать --- и тут всякие несуразности вылазят ... Что касается б) и в), то для меня это совершенно новые конструкции.

[=SSN=]

hippie в сообщении #529185 писал(а):

А ещё:

x = ±21, y = ±3, z = 9;
x = ±59, y = ±5, z = 12.

Проблема остаётся всё та же: выяснить, есть ли другие решения.

В диапазоне $|x| < 2^{24}, |y| < 2^{12}, 0 \leqslant z < 2^{49}$ других решений нет.

[temp03]

Ktina в сообщении #528996 писал(а):

б) $x^2+y^4-10=2^z$

Вопрос в принципе сводится к тому, когда сумма $2^n+5$ или $(2^n+2^2+1)$ не содержит простых чисел вида $4k-1$, либо если содержит, то в чётной степени (в квадрате, четвёртой и т.д.). Скорее всего, таких вариантов бесконечно много, как и решений.