Картина

[arseniiv]

ollyvs в сообщении #528078 писал(а):

А может кто нибудь нарисовать решение для 3 4 5 хотя бы гвоздей, мне эта задача полгода спать не дает.

Итак,

исходя из того, что

Kallikanzarid в сообщении #501192 писал(а):

решением будет коммутатор $[\ldots[a_1, a_2], a_3], \ldots, a_n]$

и того, что решением для $n = 2$ будет

Sinus в сообщении #501186 писал(а):

например, $x=a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}:$

можно, не зная ничего про коммутаторы, найти вид решения для любого частного $n$. А именно предположим из первой и второй цитаты, что $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$ (так и есть на самом деле) и переформулируем то, что во второй цитате, через это наше угаданное выражение. Получим для $n = 3$:
$[[a, b], c] = [aba'b', c] = aba'b'c(aba'b')'c' = aba'b'cbab'a'c'$.
(Я немного переобозначил элементы для удобства, и обратные элементы тоже обозначил штрихами для того же удобства.)
Для $n = 4$ же имеем
$[[[a, b], c], d] = [aba'b'cbab'a'c', d] = aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd'$.
Ну и так далее. Теперь берёте картину и гвозди. $x$ соответствует (опять же, все данные есть выше) перекидыванию верёвки над гвоздём $x$ по часовой стрелке, а $x'$ — против той стрелки.

Теперь берите расходный материал и плетите, плетите, плетите…

P. S. Ну и, конечно, случай $n = 5$:
$[[[[a, b], c], d], f] = [aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd', f] =$
$= aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd'fdaba'b'cbab'a'c'd'caba'b'c'bab'a'f'$.

-- Ср янв 18, 2012 01:07:50 --

(Надеюсь, нигде в выражениях не ошибся.)

[svv]

(Оффтоп)

arseniiv писал(а):

Надеюсь, нигде в выражениях не ошибся.

Совет от доброго человека, как надо проверять такие формулы. На $n$ гвоздей наматывается типа коммутатор в соответствии с написанной формулой, а вместо картины к веревке подвешивается написавший формулу. Затем проверяющий не теряя времени выдергивает один гвоздь, но... Что ж, надо было внимательней.

[Yu_K]

(Оффтоп)

Исключение из правила (см. ниже).

А. Вознесенский

Жил художник в нужде и гордыне.
Но однажды явилась звезда.
Он задумал такую картину,
чтоб висела она без гвоздя.

Он менял за квартирой квартиру.
Стали пищею хлеб и вода.
Жил, как йог, заклиная картину.
А она падала без гвоздя.

Обращался он к стенке бетонной:
«Дай возьму твои боли в себя.
На моих неумелых ладонях
проступают следы от гвоздя».

Умер он, измождённый профессией.
Усмехнулась скотина-звезда.
И картину его не повесят.
Но картина висит без гвоздя.
1964

[TOTAL]

Перенумеруем гвозди сверху вниз от 0 до N.
Искомый путь верёвки: Картина-0-1-0-2-....-0-N-0-Картина

[Yu_K]

TOTAL Пусть $N=1$ - тогда путь веревки Картина-0-1-0-Картина. Что-то кажется у Вас она не будет падать. Вытаскиваем нулевой гвоздь - все повисает на первом гвозде. И что значит "сверху-вниз" - гвозди хаотично вбиты в стену. С коммутаторами - там красиво - все падает вниз вместе с веревкой - при любом расположении гвоздей.

[TOTAL]

Yu_K в сообщении #528231 писал(а):

TOTAL Пусть $N=1$ - тогда путь веревки Картина-0-1-0-Картина. Что-то кажется у Вас она не будет падать. Вытаскиваем нулевой гвоздь - все повисает на первом гвозде. И что значит "сверху-вниз" - гвозди хаотично вбиты в стену. С коммутаторами - там красиво - все падает вниз вместе с веревкой - при любом расположении гвоздей.

Я так понял условие, что картина после вытаскивания любого гвоздя должна приопуститься. Конечно в моём "решении" верёвка не упадет на пол.

[ollyvs]

arseniiv в сообщении #528085 писал(а):

ollyvs в сообщении #528078 писал(а):

А может кто нибудь нарисовать решение для 3 4 5 хотя бы гвоздей, мне эта задача полгода спать не дает.

Итак,

исходя из того, что

Kallikanzarid в сообщении #501192 писал(а):

решением будет коммутатор $[\ldots[a_1, a_2], a_3], \ldots, a_n]$

и того, что решением для $n = 2$ будет

Sinus в сообщении #501186 писал(а):

например, $x=a_1a_2a_1^{-1}a_2^{-1}:$

можно, не зная ничего про коммутаторы, найти вид решения для любого частного $n$. А именно предположим из первой и второй цитаты, что $[a, b] = aba^{-1}b^{-1}$ (так и есть на самом деле) и переформулируем то, что во второй цитате, через это наше угаданное выражение. Получим для $n = 3$:
$[[a, b], c] = [aba'b', c] = aba'b'c(aba'b')'c' = aba'b'cbab'a'c'$.
(Я немного переобозначил элементы для удобства, и обратные элементы тоже обозначил штрихами для того же удобства.)
Для $n = 4$ же имеем
$[[[a, b], c], d] = [aba'b'cbab'a'c', d] = aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd'$.
Ну и так далее. Теперь берёте картину и гвозди. $x$ соответствует (опять же, все данные есть выше) перекидыванию верёвки над гвоздём $x$ по часовой стрелке, а $x'$ — против той стрелки.

Теперь берите расходный материал и плетите, плетите, плетите…

P. S. Ну и, конечно, случай $n = 5$:
$[[[[a, b], c], d], f] = [aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd', f] =$
$= aba'b'cbab'a'c'dcaba'b'c'bab'a'd'fdaba'b'cbab'a'c'd'caba'b'c'bab'a'f'$.

-- Ср янв 18, 2012 01:07:50 --

(Надеюсь, нигде в выражениях не ошибся.)

Спасибо большое, уже для 3 гвоздей на практике это выглядит ужасно) Нужно обладать нехилой памятью и вниманием чтобы решить задачу одной веревкой без математики

[svv]

[Nemiroff]

[Dave]

Nemiroff, картинка красивая, но боюсь, что картина упадёт сразу же. Вначале под действием силы тяжести соскочит вторая петля справа и обойдёт крайний справа гвоздь, потом петля слева от неё и т.д.; последней с первого слева гвоздя соскочит самая длинная петля и картина упадёт.